2025MCM美国大学生数学建模竞赛A题-楼梯磨损估计思路详解+建模论文+源代码

2025MCM美国大学生数学建模竞赛A题-楼梯磨损估计思路详解+建模论文+源代码

作为一名从事数学建模多年的博主，专注数学建模已有五年时间，期间参与了数十场不同规模的建模比赛，积累了丰富的经验。无论是模型原理、建模流程，还是各类题目分析方法，我都有深入的理解。为了帮助更多的建模爱好者，我都会在这个专栏中免费分享我的建模思路、技巧以及部分源码。每一场数模比赛，只要我有时间，我都会第一时间提供免费的开源思路和详细解答，力求让每位小伙伴都能快速掌握并应用数学建模的方法。无论你是刚入门的新手，还是经验丰富的选手，相信这里的内容都能为你带来启发。在此专栏中，你将找到最新的比赛思路、详细的分析过程、完整的代码实现。希望大家能够持续关注，不错过任何一个精彩的建模干货。

赛题翻译：

1.问题背景与需求

在许多历史建筑（如古老寺庙、教堂等）中，楼梯往往经历了长时间、多世代的使用，石质或木质台阶会产生不均匀的磨损。楼梯中心的凹陷、边缘的残高以及不同踏步间磨损量的差异，都可能蕴含关于楼梯使用强度、同时出行人数、行走方向偏好、翻修历史以及整体年代等信息。考古学家希望借助对楼梯磨损的测量与分析，推断：

1. 楼梯的使用频次：是高频率（大量人群短期密集使用）还是低频率（少量人群长年累月的慢磨损）？
2. 出行方向的偏好：主要是单向通行还是双向通行？（例如，上楼多还是下楼多？）
3. 同时使用的人数：例如，是否经常并排两人同行，从而导致踏步宽度上磨损区段不同？
4. 楼梯的建造时间/翻修改造时间：结合磨损速度、材料特性和历史记录，估计楼梯的年龄或分期翻修。
5. 材料来源及一致性：通过磨损特征与材料性质（如石料成分、木材种类）比对，判断材料产地、年代等。

对这些问题的回答既要依赖力学/材料学的磨损模型，也需结合考古学的经验和历史资料。在数学建模竞赛中，需要提出一个可量化的模型，结合现场可得到的几何量测数据，给出具有合理性的推断与结论。

2. 数据采集与变量定义

要进行定量分析，需要对楼梯磨损状况进行非破坏性、低成本、小团队可执行的测量。以下列举可能的测量项目与定义的变量。

2.1 测量项目

1. 踏面高度与形状：
   • 每一级台阶的踏面原始高度（若能从原始图纸或以相对完好区域为参考）。
   • 当前踏面形状：中心凹陷程度、边缘高度、踏步宽度上的磨损剖面曲线（可使用激光扫描或3D摄影测量技术）。
2. 材料性质：
   • 石材或木材的类型、硬度、抗磨损系数等（可通过对类似石料/木料的离线测试或文献数据获取）。
3. 建筑学/考古背景：
   • 若有历史记录，了解楼梯可能的修缮或翻新时间。
   • 当地人流量历史、节日/盛会时的使用峰值等。
4. 环境因素：
   • 是否室内、室外；是否常年风吹雨淋；温湿度变化情况等。
   • 是否存在泥沙颗粒加剧磨损，或鞋底种类变化（铁掌、橡胶等）。

2.2 变量定义

• $h\_{k}(x)$ ：第 k 级台阶在踏步宽度方向 x 处的当前高度（相对于某基准）。
• $h\_{k}^0(x)$ ：第 k 级台阶原始或假设初始状态下的高度曲线。若无法获得真实初始值，可用“尚未磨损区域”作为参考近似。
• $d_{k}(x) = h_{k}^0(x) - h\_{k}(x)$ ：第 k 级在位置 x 上的磨损深度。
• $n\_{\text{year}}$ ：楼梯使用的总年份（若已知部分翻修历史，可分段使用 Δti\Delta t_iΔti）。
• $\rho$ ：材料密度或相对磨损系数，影响磨损速率。
• $F\_{\text{avg}}$ ：平均通过楼梯的载荷（与使用人流相关）。 -$p_{\uparrow}$ 、$p_{\downarrow}$ ：楼梯上/下行方向的流量比例。
• $w$ ：平均同时并排行走人数（可能是 1、2 或更多），影响磨损区域宽度。

3.模型构建与求解思路

3.1 模型构建原理

3.1.1 磨损机理简述

在楼梯踏步的长年使用过程中，行人反复踩踏会导致石材或木材表面产生渐进的磨损。常用的磨损理论之一是 Archard 磨损方程，其基本形式可写为

$\Delta V = k \,\frac{F \cdot s}{H}$

• $\Delta V$ 表示磨损体积；
• $F$ 表示作用在表面的法向力（或相对压力）；
• $s$ 表示滑动或相对运动距离；
• $H$ 表示材料硬度；
• $k$ 为与材料、表面粗糙度等相关的磨损系数。

对于楼梯而言，可做以下简化假设：

1. 将楼梯踏步宽度方向（用坐标$x$ 表示，$0 \le x \le W$ ）离散成若干小段。行人的踩踏概率在宽度方向可用一个分布函数$P(x)$ 表示（例如居中分布或左右偏分布）。
2. 一次踩踏在位置 $x$ 上产生的磨损量与 Archard 模型成正比，可写为： $\delta d(x) \propto \frac{k\,F}{H}$
3. 若总通过人次为 $N$ ，则该处累计磨损深度约为 $d(x) = N \,P(x)\,\delta d\_0$ 其中$\delta d\_0$ 吸收了材料硬度、平均力及滑动距离等常数因素。若不同踏步或不同时间段存在差异，还需进一步分段或多参数表征。

3.1.2 模型参数与方程

1. 参数
   • $N$ ：总使用人次（或总踩踏次数），反映楼梯使用强度。
   • $P(x)$ ：宽度方向上的踩踏分布，常可用正态分布或双峰分布模拟（若可能有两人并排行走的痕迹）。
   • $\delta d\_0$ ：材料综合系数，包含材料硬度、磨损系数、平均载荷等。
2. 观测数据
   • 通过三维扫描或人工测量，可得到踏步“剩余高度”或“磨损深度”在离散网格点 $x\_i$ 处的值记为$\hat{d}(x\_i)$ 。这些即为观测数据。
3. 拟合模型
   • 我们假设一个函数$d\_{\text{model}}(x;\,\theta) = \delta d\_0 \, N \, P(x;\,\alpha)$ , 其中$\theta = {\delta d\_0,\,N,\,\alpha}$ 表示我们要估计的一组参数（α 可能包含分布的均值、方差或双峰权重等）。
   • 给定观测数据 $\hat{d}(x_i)$ ，可通过最小二乘等方法寻找 $\min_\theta \,\sum_i \bigl[\hat{d}(x\_i) - d_{\text{model}}(x\_i;\,\theta)\bigr]^2.θ$ .
4. 扩展：多踏步、多方向、翻修分段
   • 若有多级踏步，可在模型中增加踏步索引 $k$ ，并假设每级踏步的 $\delta d\_0$ 或 $N\_k$ 有所不同；或者可假设楼梯全部踏步共享一个$N$ ，但初始高度与参考磨损基准不同。
   • 若要区分上/下行方向对前缘/后缘的磨损差异，可在 $P(x)$ 中加入更多子函数或在踏步长度方向再做分段。
   • 若在时间上有翻修分段，可把总时间分割为几段，各段有不同的使用强度$N\_1, N\_2, …$ 。

3.2 Python 建模

模拟数据生成：假设真实参数已知（如真实 $N=50000$ ，$\delta d\_0=0.0001$ ），采用一个高斯分布的P(x) 生成“理想”磨损曲线，再叠加随机噪声，得到“观测数据”。

数据生成

• 将台阶宽度 x 归一化至 0,1，并在其间设置若干测量点（x_vals）。
• 定义高斯分布 P_gaussian(x, mu, sigma) 代表人群踩踏的主集中位置与离散度。
• d_ideal 为不含噪声的理论磨损曲线。
• 随机噪声模拟测量误差和材料局部异常。

定义模型函数：给定一组可调参数 θ，计算模型预测的磨损曲线。

wear_model(x, N, delta_d0, mu, sigma) 对应 $d\_{\text{model}}(x) = N \times \delta d\_0 \times \exp\bigl(-(x - \mu)^2/(2\sigma^2)\bigr)$ .

使用最小二乘拟合：通过 scipy.optimize.curve_fit（或其他方法）对模型参数进行估计。

# ---------------------------------
# 2. 定义模型函数用于拟合
# ---------------------------------
def wear_model(x, N, delta_d0, mu, sigma):
    """
    楼梯磨损模型：
    d_model(x) = N * delta_d0 * exp(-(x - mu)^2 / (2*sigma^2))
    """
    return N * delta_d0 * np.exp(-(x - mu)**2/(2*sigma**2))

可视化：对比“观测”与“拟合”结果，并分析估计出的楼梯使用强度 N 等信息。

最优拟合参数：
N_est       = 38562.78
delta_d0_est= 0.000128
mu_est      = 0.502
sigma_est   = 0.146

4.结果分析与考古推断

4.1 多阶段楼梯磨损场景简介

在实际考古中，楼梯的使用历史往往会经历多个阶段。例如：

• 第一阶段：楼梯刚建成后，使用频率较低，人流量相对小；
• 第二阶段：某个重要时期或建筑功能转变，人流量大幅增加；
• 第三阶段：中间可能有一次翻修或部分台阶更换，导致新的磨损从一个不同的初始高度起算；
• ……

为了模拟更贴近现实的情境，本章假设一个两阶段楼梯使用场景：

1. 阶段 I（前 10 年）：平均每天使用 100 人次，使用强度较低；
2. 阶段 II（后 15 年）：某种社会或宗教活动频繁，人流量激增，平均每天使用 300 人次；
3. 楼梯材料未变，但因为年限较长，整体使用超过 25 年。
4. 宽度方向依旧假设主要在中间行走，可用单峰高斯分布表示。
5. 在第 10 年末进行过简单翻修：把最表层磨损明显处打磨平整了 1 毫米，再继续使用。这会导致总磨损曲线出现“局部跳变”的特征。

通过数值模拟，我们将合成“观测磨损数据”，再做反演分析，看看是否能辨识阶段性变化与相应的人流量水平，并做考古式推断。

4.2Python 仿真与数据生成

下列代码分为四步：

1. 设定真实的分段使用参数（阶段 I、阶段 II、翻修“回退”量）；
2. 计算每个阶段在踏步各位置 xxx 的累计磨损；
3. 叠加随机噪声，得到模拟“观测数据”；
4. （可选）使用最小二乘或分段模型进行拟合，并输出拟合结果。

注：本示例着重演示结果分析流程，可根据需要为模型增加更多复杂性（多峰分布、上下行差异、更多翻修段等）。

分段使用：阶段 I（10年，日人流100） → 翻修 → 阶段 II（15年，日人流300）。

# ---------------------------
# 1. 设置分段使用参数
# ---------------------------
# 时间与人流
years_I = 10    # 阶段I使用年数
years_II = 15   # 阶段II使用年数
people_per_day_I = 100
people_per_day_II = 300

# 一年按365天粗略计算
N_I = years_I * people_per_day_I * 365
N_II = years_II * people_per_day_II * 365

# 材料与分布参数
delta_d0 = 0.000002  # 材料相关系数(单位转换略去)
mu = 0.5             # 高斯分布中心
sigma = 0.15         # 高斯分布离散度
refurbish_depth = 0.001  # 翻修回退量(1毫米 = 0.001m, 仅作示例)

翻修处理：把阶段 I 的磨损量整体减去 refurbish_depth（1 毫米），若某处磨损深度小于 1 毫米则归零；这样模拟出一个“重新相对平整”的表面。

阶段 II再次施加磨损，与阶段 I 残余叠加，得到最后的“无噪声”理想磨损曲线。

随机噪声代表了实际测量误差或材料局部差异等不确定性。

可视化显示各阶段磨损曲线以及最终观测散点。

从图中可明显看出楼梯在不同阶段累积的磨损特征，以及翻修带来的“回跳”效应。

绿色虚线（阶段I磨损，无翻修）

• 这条曲线表示如果从楼梯建成起就一直按阶段I的使用强度（例如前10年人流量较少）累积下来的理想磨损量。
• 曲线在楼梯宽度方向 $x\approx0.5$ 附近达到最大值，说明人流最偏向台阶的中部区域；两侧磨损相对更小。

蓝色虚线（翻修后阶段I残余）

• 在阶段I末进行一次翻修操作，将磨损“抹平”或“回退”了一定深度（图中约1毫米的示意），因此曲线整体比绿色虚线低了一截。
• 若某处原本磨损不大，小于翻修深度，则翻修后几乎回到初始水平；而中心磨损很深的区域，翻修后仍保留部分痕迹。

红色实线（最终理论总磨损，无噪声）

• 表示阶段I翻修之后，又经历了阶段II（人流量加大、使用年限更长）的磨损累加得到的最终理想曲线。
• 可以看出在 $x\approx0.4$ 到$x\approx0.6$ 附近，磨损深度最高，符合人流在台阶中部最为集中的假设。
• 红线相较于蓝线在中心区域又明显抬高了 2~3 个单位（图中纵坐标单位只作示意），说明阶段II的高强度使用对楼梯的中心区域造成显著加深的磨损。

黑色散点（模拟观测数据，含噪声）

• 这些散点代表经过随机噪声扰动后的“测量”结果，模拟实际考古现场中由于测量误差、材料局部差异、风化破损等多因素带来的不规则波动。
• 可以看到散点大致围绕红色实线分布，但也在某些区域明显偏离，说明真实环境下的磨损不会完美遵循理想方程，还可能存在额外的局部异常（比如石材纹理变化、踩踏时的偶然性等）。

整体解读：多阶段+翻修带来的台阶磨损形态

绿色到蓝色虚线的“下移”代表翻修；蓝色到红色的叠加抬升则体现了第二阶段人流更大的使用强度。

如在真实数据中看到类似“中途回跳”或“磨损中断”迹象，就可推断在那段时期内进行了修缮或表面重铺；中心区域仍保持较深磨损则说明翻修并未彻底恢复原始平整度，或者使用强度过高导致短期内再度磨损。

最终的观测散点虽围绕理论曲线，但呈现一定离散，可提示实际场景下存在局部差异，例如：

• 某些时段或人群可能更偏向左/右侧行走；
• 不同鞋底材料、外界泥沙、气候湿度对磨损都有微观影响。

考古推断层面

• 若能通过对散点和理想曲线的拟合，较好地恢复“分段使用”+“翻修”的模型，就可进一步量化各阶段的人流规模（如阶段II明显高于阶段I），并确认翻修时段大致在第 10 年左右。
• 若再结合史料或口述资料，就能回答：楼梯在某一历史时期确实遭遇了更多人群通行（如宗教节庆或人口增多），并在那个节点进行了维护或翻修。
• 也可以检验材料属性是否与原本推测的石料种类相符（如果磨损程度远超或远低于模型预测，则可能意味着另一种材质或多次修缮）。