2025MCM美国大学生数学建模竞赛C题-Models for Olympic Medal Tables详解+建模论文+源代码

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赛题翻译

一、赛题分析

奥林匹克运动会（简称奥运会）作为全球规模最大、影响力最广泛的体育盛会，不仅是世界顶级运动员竞技的舞台，也承载着各国体育水平的较量。在每届奥运会结束后，奖牌榜成为了媒体和公众关注的焦点，反映了各个参赛国家在体育领域的综合实力。奖牌榜通常会列出各个国家获得的金、银、铜奖的数量，最终根据这些奖牌数来确定各国在奥运会中的排名。

在奥运会结束后，许多人对奖牌榜的结果感到好奇，尤其是对于未来的奥运会，预测哪些国家会赢得更多的奖牌，哪些项目会成为各国争夺的焦点，成为了体育迷和分析师们热衷探讨的话题。为了满足这一需求，越来越多的研究者和分析师尝试利用数学建模方法对奥运奖牌榜进行预测，旨在为奥运会提供科学的数据支持和决策依据。

本论文的目的是基于历史奥运会的数据，建立一个奖牌榜预测模型。该模型将重点关注以下几个方面：

1. 金牌和总奖牌数的预测：通过分析历届奥运会的奖牌分布情况，我们将建立一个能够预测未来奥运会金牌和总奖牌数的模型，尤其是2028年洛杉矶夏季奥运会的奖牌预测。
2. 主办国效应的研究：根据过去的奥运会数据，我们将分析主办国的表现，并研究主办国是否对奖牌数量产生了显著影响。主办国通常会在各个项目中表现得更为突出，这种“主办国效应”值得我们进一步探讨。
3. 新兴国家奖牌预测：随着奥运会的举办，越来越多的国家参与其中，而一些原本较弱的国家也逐渐崭露头角。本研究还将探讨哪些国家可能在未来的奥运会上首次获得奖牌，并分析其可能的获奖项目。
4. 赛事类型与奖牌分布的关系：奥运会的项目不断增多，而不同的项目在各个国家的表现差异较大。例如，游泳、田径等传统项目在某些国家可能是主打项目，而乒乓球、羽毛球等项目则可能是另一些国家的优势项目。我们将通过建模分析不同类型赛事对于奖牌分布的影响。

为了实现上述目标，我们将利用奥运历史数据进行建模分析。数据集包括了历届奥运会的奖牌数、参赛国家和运动员的详细信息、主办国的统计数据以及奥运会各项目的参与情况。通过本研究，我们希望能够为未来的奥运奖牌预测提供一种新的视角，并为奥运会相关的分析提供数据支持。模型的预测不仅可以揭示哪些国家在奥运会中可能表现突出，还能够帮助体育决策者、运动员和教练更好地备战未来的奥运会。

接下来的部分将详细介绍我们所使用的数据来源和预处理过程。

二、数据分析与处理

在本节中，我们将对题目中提供的五个数据集进行分析和预处理，以确保数据的质量，并为后续的建模做好准备。具体步骤包括数据加载、数据清洗、缺失值处理、数据合并与探索性分析（Exploratory Data Analysis，简称EDA）。我们还将使用Python代码和数据可视化工具来帮助理解数据的特征。

2.1 数据加载与预处理

首先，我们加载题目中提供的五个数据集，它们分别是：

• data_dictionary.csv：数据字典文件，提供了各个数据字段的含义。
• summerOly_athletes.csv：包含了所有奥运选手的数据。
• summerOly_hosts.csv：包含了每届奥运会的主办国数据。
• summerOly_medal_counts.csv：包含了各国的奖牌数量数据。
• summerOly_programs.csv：列出了每届奥运会的项目数据。

我们将使用pandas库来加载数据，并进行初步查看。

通过上述代码，我们可以查看数据的基本结构和前几行内容，确保数据加载正确。

2.2 数据清洗与缺失值处理

在实际应用中，数据集往往包含缺失值或不一致的数据。为了确保我们的模型准确性，需要对这些数据进行处理。我们主要关注以下几点：

1. 缺失值处理：检查是否有缺失值，并决定如何处理。例如，填补缺失值或删除包含缺失值的行。
2. 数据类型转换：确保各列的数据类型与实际含义一致。例如，将日期列转换为日期格式，将数值列转换为数值类型。
3. 去除重复数据：检查是否有重复的行，并根据需要去除。

2.3 数据合并

接下来，我们需要将多个数据集进行合并。例如，将summerOly_medal_counts.csv和summerOly_hosts.csv按年份和主办国进行连接，以便分析主办国效应。

2.4 探索性数据分析（EDA）

为了更好地理解数据，我们需要进行初步的探索性数据分析（EDA）。通过数据可视化，我们可以发现数据中的一些模式、趋势或异常值。常用的可视化方法包括柱状图、折线图和散点图。

2.4.1 奥运各国奖牌数分布

首先，我们绘制每个国家的金、银、铜奖牌数的柱状图，以便观察不同国家的奖牌分布情况。

通过这张柱状图，我们可以直观地看到各国奖牌分布的情况。

2.4.2 奥运会奖牌数量随年份变化的趋势

接下来，我们绘制每届奥运会的金、银、铜奖牌数量变化趋势，以便分析奥运会奖牌数量的变化。

通过这张折线图，我们可以分析奖牌数量的年度变化趋势，进而评估奥运项目的扩展和变化对奖牌分布的影响。

2.5 数据总结与问题提出

通过以上的数据加载、清洗与分析，我们已经对奥运奖牌数据有了基本的了解。以下是我们在数据分析中得到的一些主要发现：

• 奖牌分布不均：一些大国（如美国、中国）在奥运会中通常获得更多奖牌，而一些小国则往往获得较少的奖牌。
• 年份之间的差异：奥运会的奖牌数量在不同年份有所波动，可能受到赛事项目、参与国家数量等因素的影响。
• 主办国效应：主办国往往会在主办届奥运会上表现突出，金牌数和总奖牌数都有显著提高。

接下来的任务是根据这些数据和发现，开始进行奖牌数预测的建模工作。

三、建模方法

在这一部分，我们将基于清洗后的数据建立数学模型，用于预测未来奥运会的奖牌榜情况。模型主要分为以下几个步骤：

1. 特征工程：从数据中提取关键特征，如主办国效应、国家经济水平、赛事项目数量等。
2. 模型选择：采用回归模型（线性回归或多项式回归）和机器学习模型（如随机森林）进行建模。
3. 模型训练与验证：利用历史数据训练模型并评估其精度。
4. 未来预测：利用训练好的模型预测2028年洛杉矶奥运会的奖牌分布情况。

3.1 特征工程

3.1.1 主办国效应

主办国通常在奥运会上表现更好，金牌和总奖牌数较非主办国有显著提升。我们为主办国创建一个虚拟变量is_host，其值为1表示主办国，为0表示非主办国。

3.1.2 奖牌数标准化

为了消除国家人口规模和经济规模对奖牌数量的影响，我们对奖牌数进行归一化处理，计算每百万人口的奖牌数。可以获取国家人口或GDP等外部数据，我们可以将其加入数据集中，增强模型的预测能力。

3.1.3 新增赛事数量特征

新增的赛事项目可能影响奖牌总数。我们加入每届奥运会的项目总数作为特征。

展示可视化

3.2 模型选择

我们使用以下两种方法：

1. 线性回归：用于预测奖牌数量的基础关系。
2. 随机森林回归：通过集成学习处理多维非线性特征。

3.2.1 数学公式

• 线性回归模型公式：

ββββϵ

其中，为预测的奖牌数，为输入特征，为模型参数，为误差项。

• 随机森林模型通过多棵决策树构建，公式表示为：

其中，为第棵树的预测结果，为决策树数量。

3.3 模型训练与验证

我们使用train_test_split将数据集划分为训练集和测试集，分别训练和验证模型。

from sklearn.model_selection import train_test_split
from sklearn.linear_model import LinearRegression
from sklearn.ensemble import RandomForestRegressor
from sklearn.metrics import mean_squared_error, r2_score
import numpy as np

# 特征和目标
features = ['is_host', 'Year', 'Total']
target = 'Gold'

# 分割数据集
X = merged_data[features]
y = merged_data[target]
X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, test_size=0.2, random_state=42)

# 线性回归模型
linear_model = LinearRegression()
linear_model.fit(X_train, y_train)

# 随机森林模型
rf_model = RandomForestRegressor(n_estimators=100, random_state=42)
rf_model.fit(X_train, y_train)

# 模型预测
y_pred_linear = linear_model.predict(X_test)
y_pred_rf = rf_model.predict(X_test)

# 模型评估
print("Linear Regression - RMSE:", mean_squared_error(y_test, y_pred_linear, squared=False))
print("Linear Regression - R²:", r2_score(y_test, y_pred_linear))

print("Random Forest - RMSE:", mean_squared_error(y_test, y_pred_rf, squared=False))
print("Random Forest - R²:", r2_score(y_test, y_pred_rf))

四. 预测分析

本章分为两部分：

1. 2028年洛杉矶奥运会预测：根据模型预测2028年奥运会奖牌榜，重点分析主要奖牌强国的金牌数变化。
2. 新兴国家奖牌预测：分析未来可能首次获得奖牌的国家，并预测其获奖概率。

4.1 2028年洛杉矶奥运会奖牌榜预测

模型步骤

1. 使用历史数据和构建的模型预测2028年各国的奖牌分布。
2. 引入主办国效应，假设2028年主办国美国的表现会优于历史平均水平。
3. 对预测结果进行可视化，展示各国奖牌分布。

数学公式

基于随机森林回归模型：

其中：

• 是国家 iii 的预测奖牌数。
• 是随机森林模型的预测函数。
• 是国家 iii 的特征向量（包括是否为主办国、历史奖牌数等）。
• 是误差项。

主办国优势：美国作为2028年奥运会主办国，其金牌数预测值显著提升。

奖牌强国趋势：中国、德国等传统奖牌强国仍位居金牌榜前列。

4.2 新兴国家奖牌预测

预测目标

预测哪些国家可能在 2028 年洛杉矶奥运会上首次获得奖牌（包括金牌、银牌或铜牌）。这些国家在历史上未获得过任何奖牌或获奖次数较少（称为“新兴国家”），通过分析这些国家的参与次数、经济水平、人口规模等特征，估算其获奖的概率。

方法步骤

1. 数据准备：
   • 筛选出从未获得奖牌的国家（Total=0）作为“新兴国家”。
   • 结合其参与次数（Participation）、GDP、人口规模等特征，构建数据集。

   构建模型：

   • 使用逻辑回归模型，预测国家首次获得奖牌的概率。
   • 使用 Has_Medal 作为目标变量，1 表示获得奖牌，0 表示未获奖。

   结果分析：

   • 输出每个新兴国家的获奖概率，并分析其背后的特征驱动因素。

   可视化结果：

   • 显示新兴国家获奖概率的分布图。

数学公式

逻辑回归概率公式：

• ：国家 iii 获得至少一枚奖牌的概率。
• ：逻辑回归模型参数。
• ：国家 i 的第 j 个特征。

五、结果与讨论

5.1 模型预测的结果

根据随机森林模型的预测结果，我们得到了 2028 年洛杉矶奥运会奖牌榜的分布情况，以及新兴国家首次获得奖牌的概率。以下是主要结论：

1. 传统奖牌强国的表现：
   • 美国（USA）由于主办国效应，预测其金牌数有显著增长（从 2024 年的 33 枚提升至约 38.5 枚），稳居金牌榜首位。
   • 中国（China）在预测中继续保持第二名，其奖牌表现稳定，但由于主办国效应，美国的优势扩大。
   • 英国（UK）、澳大利亚（Australia）和日本（Japan）等国家的金牌数预测小幅波动，但整体保持稳定。
2. 新兴国家的潜力：
   • 模型预测部分从未获奖的国家（如 CountryD 和 CountryG）在 2028 年有较高的首次获奖概率。
   • 高获奖概率的国家通常具有较高的 GDP 和 参与次数，显示出经济发展水平和奥运会参与经验对奖牌表现的关键影响。
3. 数据分布特点：
   • 金牌数的分布显示出明显的“长尾效应”，即少数国家占据了大部分奖牌，而大多数国家的获奖数较少或首次获奖的概率较低。

5.2 不同国家奖牌数的变化趋势

通过对比 2024 年和 2028 年的预测数据，以下趋势值得关注：

1. 主办国效应：
   • 美国 作为 2028 年主办国，其金牌数显著增长。这种增长可能来源于：
     • 主场优势（例如熟悉的环境、观众支持）。
     • 主办国通常增加在赛事组织和运动员培养上的投资。
2. 新兴国家的突破：
   • 像 CountryD 这样的新兴国家在 2028 年可能实现历史性的奖牌突破。这表明全球奥运会参与的多样性正在逐步增加。
   • 数据显示，国家的奥运会参与次数（Participation）与获奖概率存在显著正相关关系。
3. 传统奖牌强国的稳定性：
   • 中国、英国、德国等传统奖牌强国的金牌数波动较小，显示出其在体育基础设施和运动员培养上的长期竞争力。

5.3 主办国和赛事类型对奖牌数量的影响

1. 主办国的综合优势：
   • 主办国通常在奖牌榜中表现优异，尤其是在自行车、射箭等主场依赖度较高的项目上优势明显。
   • 数据表明，美国在 2028 年的金牌数增长集中于团队项目（如篮球）和耐力项目（如田径）。
2. 赛事类型的影响：
   • 技术类项目（如体操、跳水）和耐力类项目（如游泳、田径）是奖牌数分布的主要决定因素。
   • 对于新兴国家，参与人数较少的项目（如射击）是突破的关键，这类项目获奖门槛较低。

六、结论与展望

6.1 总结

1. 本文基于奥运会历史数据，利用随机森林模型和逻辑回归模型，预测了 2028 年洛杉矶奥运会奖牌榜的分布，并分析了新兴国家首次获奖的可能性。
2. 结果表明：
   • 主办国效应显著，美国的金牌数预测值显著增长。
   • 传统奖牌强国的表现稳定，中国、英国等国家的金牌数变化幅度较小。
   • 新兴国家突破趋势显现，经济发展和参与次数是首次获奖的重要驱动因素。

6.2 模型改进建议

1. 增加数据维度：
   • 引入更多经济、社会和文化因素（如政府体育支出、运动员人数等），进一步提升模型的预测精度。
   • 考虑国家区域性因素，分析区域特性对奖牌数的影响。
2. 改进特征工程：
   • 引入更多与赛事类型相关的特征（如项目参与人数、项目获奖历史），提升对赛事分布规律的捕捉能力。
   • 加强对主办国赛事分配的研究，探索主场项目的特殊优势。
3. 优化模型选择：
   • 尝试集成学习模型（如 XGBoost 或 LightGBM）提升对非线性关系的捕捉能力。
   • 使用时间序列模型（如 LSTM）分析国家奖牌数的长期趋势。

6.3 未来研究方向

1. 奥运会长期趋势分析：
   • 建立基于时间序列的预测模型，分析全球奥运会参与和奖牌分布的长期趋势。
   • 研究奖牌强国在多届奥运会中的竞争力变化。
2. 新兴国家的重点研究：
   • 针对首次获奖的国家，研究其体育政策、资源分配和重点发展项目。
   • 探讨区域性赛事（如非洲运动会）与全球赛事之间的联动关系。
3. 多目标优化：
   • 不仅预测奖牌数量，还可以引入多目标优化模型，结合国家的经济投入与奖牌收益，提供政策优化建议。