微分方程整理

微分方程

例：求一曲线方程，使其满足过点(1,2)，且其上任意一点处的切线斜率为其横坐标的2倍。

设曲线方程为y=f(x)，有\({dy\over dx}=2x\)，这样的方程与代数方程的不同在于包含了未知函数对自变量的导数，为一阶的微分方程。之所以为一阶微分方程是因为该方程的导数的最高阶数为一阶。由该式可得

dy=2xdx

两端积分，有

\(y=x^2+C\)

将(1,2)代入，可得

C=1

故该曲线方程为

\(y=x^2+1\)

其中\(y=x^2+C\)为微分方程\({dy\over dx}=2x\)的通解，\(y=x^2+1\)为特解。

微分方程定义和基本概念

\(F(x,y,y',...,y^{(n)})=0\)

包含了自变量各阶导数的方程称为微分方程。

• 基本概念

1. 微分方程分为常微分方程和偏微分方程，之前的示例就为常微分方程，偏微分方程例如
   1. \({∂^2u\over ∂x^2}+{∂^2u\over ∂y^2}=0\)
   2. 的多元函数的方程。它们的区分主要是自变量的个数。
2. 方程的阶数就是未知函数对自变量的导数的最高阶数。这里又把微分方程分为一阶微分方程和高阶微分方程。
3. 从线性和非线性的角度，又可以把微分方程分为线性方程和非线性方程。
   1. 线性方程的形式：
   2. \(y^{(n)}+a_1(x)y^{(n-1)}+a_2(x)y^{(n-2)}+...+a_{n-1}(x)y'+a_n(x)y=f(x)\)
   3. 非线性方程如：
   4. \(y'+(y')^2=1\)
4. 方程的解，y=φ(x),x∈I，代入到方程\(F(x,y,y',...,y^{(n)})=0\)中，使得两端成立，此时y=φ(x)就是方程的一个解。
   1. 如果它的解当中含着任意个相互独立的常数C，那么这样的解就叫做方程的通解。通解的形式又可以分为显式解和隐式解。隐式解主要是例如\(lny=x^2+C\)，它不容易直接写出y和x的关系，它也是一种解。
   2. 如果它的解当中不含任意个常数，那么这样的解就叫做方程的特解。求特解必须知道一定的已知条件，一般该条件叫做初值条件。