机器学习实战 - 读书笔记(06) – SVM支持向量机
机器学习实战 - 读书笔记(06) – SVM支持向量机
前言
最近在看Peter Harrington写的“机器学习实战”，这是我的学习笔记，这次是第6章：SVM 支持向量机。 支持向量机不是很好被理解，主要是因为里面涉及到了许多数学知识，需要慢慢地理解。我也是通过看别人的博客理解SVM的。 推荐大家看看on2way的SVM系列：
基本概念
- SVM - Support Vector Machine。支持向量机，其含义是通过支持向量运算的分类器。其中“机”的意思是机器，可以理解为分类器。 什么是支持向量呢？在求解的过程中，会发现只根据部分数据就可以确定分类器，这些数据称为支持向量。 见下图，在一个二维环境中，其中点R，S，G点和其它靠近中间黑线的点可以看作为支持向量，它们可以决定分类器，也就是黑线的具体参数。
- 分类器：就是分类函数。
- 线性分类：可以理解为在2维空间中，可以通过一条直线来分类。在p维空间中，可以通过一个p-1维的超平面来分类。
- 向量：有多个属性的变量。在多维空间中的一个点就是一个向量。比如 x = (x_1, x_2, ..., x_n)。下面的w也是向量。
- 约束条件(subject to) ： 在求一个函数的最优值时需要满足的约束条件。
- 向量相乘: xw^T = \textstyle \sum_{i=1}^n w_ix_i
- 内积: \langle x,y \rangle = \textstyle \sum_{i=1}^n x_iy_i
解决的问题：
- 线性分类 在训练数据中，每个数据都有n个的属性和一个二类类别标志，我们可以认为这些数据在一个n维空间里。我们的目标是找到一个n-1维的超平面（hyperplane），这个超平面可以将数据分成两部分，每部分数据都属于同一个类别。 其实这样的超平面有很多，我们要找到一个最佳的。因此，增加一个约束条件：这个超平面到每边最近数据点的距离是最大的。也成为最大间隔超平面（maximum-margin hyperplane）。这个分类器也成为最大间隔分类器（maximum-margin classifier）。 支持向量机是一个二类分类器。
- 非线性分类 SVM的一个优势是支持非线性分类。它结合使用拉格朗日乘子法和KKT条件，以及核函数可以产生非线性分类器。
- 分类器1 - 线性分类器 是一个线性函数，可以用于线性分类。一个优势是不需要样本数据。 classifier 1: f(x) = xw^T + b w 和 b 是训练数据后产生的值。
- 分类器2 - 非线性分类器 支持线性分类和非线性分类。需要部分样本数据（支持向量），也就是\alpha_i \ne 0的数据。 \because w = \textstyle \sum_{i=1}^n \alpha_iy_ix_i \therefore classifier 2: f(x) = \textstyle \sum_{i=1}^n \alpha_iy_i K(x_i, x) + b \\ \text{here} \\ \qquad x_i \text{ : training data i} \\ \qquad y_i \text{ : label value of training data i} \\ \qquad \alpha_i \text{ : Lagrange multiplier of training data i} \\ \qquad K(x_1, x_2) = exp(-\frac{\lVert x_1 - x_2 \rVert ^2}{2\sigma^2}) \text{ : kernel function} \\ \alpha, \sigma 和 b是训练数据后产生的值。 可以通过调节\sigma来匹配维度的大小，\sigma越大，维度越低。
核心思想
- SVM的目的是要找到一个线性分类的最佳超平面 f(x) = xw^T + b = 0。求w和 b。
- 首先通过两个分类的最近点，找到f(x)的约束条件。
- 有了约束条件，就可以通过拉格朗日乘子法和KKT条件来求解，这时，问题变成了求拉格朗日乘子\alpha_i 和 b。
- 对于异常点的情况，加入松弛变量\xi来处理。
- 使用SMO来求拉格朗日乘子\alpha_i和b。这时，我们会发现有些\alpha_i = 0，这些点就可以不用在分类器中考虑了。
- 惊喜! 不用求w了，可以使用拉格朗日乘子\alpha_i和b作为分类器的参数。
- 非线性分类的问题：映射到高维度、使用核函数。
详解
线性分类及其约束条件
SVM的解决问题的思路是找到离超平面的最近点，通过其约束条件求出最优解。
对于训练数据集T，其数据可以分为两类C1和C2。 对于函数：f(x) = xw^T + b 对于C1类的数据 xw^T + b \geqslant 1。其中至少有一个点x_i， f(x_i) = 1。这个点称之为最近点。 对于C2类的数据 xw^T + b \leqslant -1。其中至少有一个点x_i， f(x_i) = -1。这个点称也是最近点。 上面两个约束条件可以合并为： y_if(x_i) = y_i(x_iw^T + b) \geqslant 1。 y_i是点x_i对应的分类值（-1或者1）。 求w和b. 则超平面函数是xw^T + b = 0。 为了求最优的f(x)， 期望训练数据中的每个点到超平面的距离最大。 （解释1: 这里需要理解一个事情，根据上图，我们可以给每个点做一条平行于超平面的平行线（超平行面），因此，这个最大化相当于求最近点到超平面距离的最大化。）
总结，现在我们的公式是： Formula 6.1 f(x) = xw^T + b \\ \text{subject to} \\ \qquad y_if(x_i) = y_i(x_iw^T + b) \geqslant 1, i = 1, ..., n
几个训练脑筋的小问题：
- Q: y是否可以是其它非{-1， 1}的值? A: 将y值定义为{-1， 1}是最简化的方案。你的分类可以是cat和dog，只要将cat对应到1, dog对应到-1就可以了。你也可以将y值定义为其它数比如: -2, 2或者2, 3之类的，但是这样就需要修改超平面函数和约束条件，增加了没必要的繁琐，实际上和y值定义为{-1， 1}是等价的。
- Q: 如果两组数据里的太近或者太远，是不是可能就找不到xw^T + b = 1和xw^T + b = -1的这两个点？ A: 不会。假设可以找到x_iw^T + b = c 和 x_jw^T + b = -c. c > 0 and c <> 1。其超平面函数为xw^T + b = 0. 上面公式左右同时除以c, 则： x_iw^T / c + b / c = 1 x_jw^T / c + b / c = -1 令: w' = w/c b' = b/c 有: x_iw'^T + b' = 1 x_jw'^T + b' = -1 可以找到超平面函数: xw^T + b' = 0 因此，总是可以找到y是{-1, 1}的超平面，如果有的话。
最大几何间隔（geometrical margin）
f(x)为函数间隔\gamma。 如果求\text{max } yf(x)，有个问题，就是w和b可以等比例增大，导致yf(x)的间隔可以无限大。因此需要变成求等价的最大几何间隔： \bar{\gamma} = \frac{yf(x)}{\lVert w \rVert} \\ \text{subject to} \\ \qquad y_if(x_i) = y_i(x_iw^T + b) \geqslant 1, i = 1, ..., n \lVert w \rVert : 二阶范数，也就是各项目平方和的平方根。\sqrt {\textstyle \sum_{i=1}^n w_i^2}
根据上面的解释，这个问题可以转变为： \text{max } \frac{1}{\lVert w \rVert} \\ \text{subject to} \\ \qquad y_i(x_iw^T + b) \geqslant 1, i = 1, ..., n
再做一次等价转换： Formula 6.2 \text{min } \frac{1}{2} \lVert w \rVert ^ 2 \\ \text{subject to} \\ \qquad y_i(x_iw^T + b) \geqslant 1, i = 1, ..., n
求解问题\(w,b \Leftrightarrow \alpha_i, b\)
我们使用拉格朗日乘子法和KKT条件来求w和b，一个重要原因是使用拉格朗日乘子法后,还可以解决非线性划分问题。 拉格朗日乘子法和KKT条件可以解决下面这个问题：
- 求一个最优化问题 f(x) 刚好对应我们的问题：min \frac{1}{2} \lVert w \rVert ^ 2
- 如果存在不等式约束g_k(x) <= 0, k = 1, …, q。 对应 \text{subject to } \qquad 1 - y_i(x_iw^T + b) <= 0, i = 1, ..., n
- F(x)必须是凸函数。这个也满足。
SVM的问题满足使用拉格朗日乘子法的条件。因此问题变成： Formula 6.3 \underset{\alpha}{max} \text{ } W(\alpha) = \mathcal{L}(w,b,\alpha) = \frac{1}{2} \lVert w \rVert ^ 2 - \textstyle \sum_{i=1}^n \alpha_i(y_i(x_iw^T + b) - 1) \\ \text{subject to} \\ \qquad \alpha_i >= 0, i = 1, ..., n \\ \qquad \textstyle \sum_{i=1}^n \alpha_iy_i = 0 \\ \qquad 1 - y_i(x_iw^T + b) <= 0, i = 1, ..., n \\ \qquad w = \textstyle \sum_{i=1}^n \alpha_iy_ix_i \\ \text{here} \\ \qquad \alpha_i \text{ : Lagrange multiplier of training data i} \\
消除\(w\)之后变为： Formula 6.4 \underset{\alpha}{max} \text{ } W(\alpha) = \mathcal{L}(w,b,\alpha) = \textstyle \sum_{i=1}^n \alpha_i - \frac{1}{2} \textstyle \sum_{i,j=1}^n \alpha_i\alpha_jy_iy_jx_i^Tx_j \\ \text{subject to} \\ \qquad \alpha_i >= 0, i = 1, ..., n \\ \qquad \textstyle \sum_{i=1}^n \alpha_iy_i = 0 \\ \qquad \alpha_i(1 - y_i(\textstyle \sum_{j=1}^n \alpha_jy_j \langle x_j,x_i \rangle + b)) = 0, i = 1, ..., n \langle x_j,x_i \rangle是x_j和 x_i的内积，相当于x_ix_j^T 可见使用拉格朗日乘子法和KKT条件后，求w,b的问题变成了求拉格朗日乘子\alpha_i和b的问题。 到后面更有趣，变成了不求w了，因为\alpha_i可以直接使用到分类器中去，并且可以使用\alpha_i支持非线性的情况xw^T + b是线性函数，支持不了非线性的情况哦）。
以上的具体证明请看： 解密SVM系列（二）：SVM的理论基础 关于拉格朗日乘子法和KKT条件，请看： 深入理解拉格朗日乘子法（Lagrange Multiplier)和KKT条件
处理异常点（outliers）
如上图：点w是一个异常点，导致无法找到一个合适的超平面，为了解决这个问题，我们引入松弛变量(slack variable)\xi。 修改之间的约束条件为：x_iw^T + b >= 1 – \xi_i \qquad \text{for all i = 1, …, n} 则运用拉格朗日乘子法之后的公式变为： Formula 6.5 \underset{\alpha}{max} \text{ } W(\alpha) = \mathcal{L}(w,b,\alpha) = \textstyle \sum_{i=1}^n \alpha_i - \frac{1}{2} \textstyle \sum_{i,j=1}^n \alpha_i\alpha_jy_iy_jx_jx_i^T \\ \text{subject to} \\ \qquad 0 \leqslant \alpha_i \leqslant C, i = 1, ..., n \\ \qquad \textstyle \sum_{i=1}^n \alpha_iy_i = 0 \\ \qquad \alpha_i(1 - y_i(\textstyle \sum_{j=1}^n \alpha_jy_j \langle x_j,x_i \rangle + b)) = 0, i = 1, ..., n 输入参数：
- 参数C，越大表明影响越严重。C应该一个大于0值。其实C也不能太小，太小了就约束\alpha_i了，比如200。
- 参数\xi，对所有样本数据起效的松弛变量，比如：0.0001。 具体证明请看： 解密SVM系列（二）：SVM的理论基础
求解\(\alpha\) - 使用SMO方法
1996年，John Platt发布了一个称为SMO的强大算法，用于训练SVM。SMO表示序列最小优化（Sequential Minimal Optimization）。 SMO方法： 概要：SMO方法的中心思想是每次取一对\alpha_i和\alpha_j，调整这两个值。 参数: 训练数据/分类数据/C/\xi/最大迭代数 过程：
初始化\alpha为0； 在每次迭代中 （小于等于最大迭代数）， - 找到第一个不满足KKT条件的训练数据，对应的\alpha_i， - 在其它不满足KKT条件的训练数据中，找到误差最大的x，对应的index的\alpha_j， - \alpha_i和\alpha_j组成了一对，根据约束条件调整\alpha_i, \alpha_j。
不满足KKT条件的公式： Formula 6.6 \text{(1) } y_i(u_i - y_i) \leqslant \xi \text{ and } \alpha_i < C \\ \text{(2) } y_i(u_i - y_i) \geqslant \xi \text{ and } \alpha_i > 0 \\ here \\ \qquad u_i = \textstyle \sum_{j=1}^n \alpha_jy_j K(x_j, x_i) + b \\ \qquad K(x_1, x_2) = \langle x_1, x_2 \rangle \\ \qquad \xi \text{ : slack variable} 调整公式： Formula 6.7 \alpha_2^{new} = \alpha_2^{old} - \frac{y_2(E_1 - E_2)}{\eta} \\ \alpha_1^{new} = \alpha_1^{old} + y_1y_2(\alpha_2^{old} - \alpha_2^{new}) \\ b_1 = b^{old} - E_1 -y_1(\alpha_1^{new} - \alpha_1^{old})K(x_1, x_1) - y_2(\alpha_2^{new} - \alpha_2^{old})K(x_1, x_2) \\ b_2 = b^{old} - E_2 -y_1(\alpha_1^{new} - \alpha_1^{old})K(x_1, x_2) - y_2(\alpha_2^{new} - \alpha_2^{old})K(x_2, x_2) \\ b = \begin{cases} b_1 & \text{if } 0 \leqslant \alpha_1^{new} \leqslant C \\ b_2 & \text{if } 0 \leqslant \alpha_2^{new} \leqslant C \\ \frac{b_1 + b_2}{2} & \text{otherwise} \end{cases} \\ here \\ \qquad E_i = u_i - y_i \\ \qquad \eta = 2K(x_1, x_2) - K(x_1, x_1) - K(x_2, x_2) \\ \qquad u_i = \textstyle \sum_{j=1}^n \alpha_jy_j K(x_j, x_i) + b \\ \qquad K(x_1, x_2) = \langle x_1, x_2 \rangle 具体证明请参照: 解密SVM系列（三）：SMO算法原理与实战求解
最后一步：解决非线性分类
根据机器学习的理论，非线性问题可以通过映射到高维度后，变成一个线性问题。 比如：二维下的一个点<x1, x2>, 可以映射到一个5维空间，这个空间的5个维度分别是:x1, x2, x1x2, x1^2, x2^2。 映射到高维度，有两个问题：一个是如何映射？另外一个问题是计算变得更复杂了。 幸运的是我们可以使用核函数(Kernel function)来解决这个问题。 核函数(kernel function)也称为核技巧(kernel trick)。 核函数的思想是：
核函数有很多种, 一般可以使用高斯核（径向基函数（radial basis function）） Formula 6.8 K(x_1, x_2) = exp(-\frac{\lVert x_1 - x_2 \rVert ^2}{2\sigma^2}) 可以通过调节\(\sigma\)来匹配维度的大小，\(\sigma\)越大，维度越低，比如10。 可以参照： 解密SVM系列（四）：SVM非线性分类原理实验 支持向量机通俗导论（理解SVM的三层境界）
如何解决多类分类问题
支持向量机是一个二类分类器。基于SVM如何构建多类分类器，建议阅读C. W. Huset等人发表的一篇论文"A Comparison of Methods for Multiclass Support Vector Machines"。需要对代码做一些修改。
参照
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