【数字图像】数字图像傅立叶变换的奇妙之旅

SarPro

发布于 2024-02-20 17:35:40

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文章被收录于专栏：【计网】Cisco

⛳️1. 初识数字图像处理

数字图像处理是一门涉及获取、处理、分析和解释数字图像的科学与工程领域。这一领域的发展源于数字计算机技术的进步，使得对图像进行复杂的数学和计算处理变得可能。以下是数字图像处理技术的主要特征和关键概念：

图像获取：
- 数字图像处理的起点是通过传感器或其他设备获取的图像。这些图像可以来自各种源，包括摄像头、卫星、医学仪器等。
- 数字图像通常由像素组成，每个像素代表图像中的一个小区域，具有特定的亮度值或颜色值。
数字图像的表示：
- 图像在计算机中以数字形式表示，其中每个像素的亮度值或颜色值通过数字进行编码。灰度图像使用单一通道表示，而彩色图像则包含多个通道，如红、绿、蓝（RGB）。
- 图像表示的质量和分辨率对后续处理步骤至关重要。
基本图像处理操作：
- 滤波与增强： 应用各种滤波器来平滑图像、去除噪声或突出图像中的特定特征。
- 直方图均衡化： 调整图像的对比度，以使图像中的不同亮度级别更均匀分布。
- 缩放与旋转： 调整图像的大小和方向，以适应特定的需求或算法。
图像分析与特征提取：
- 边缘检测： 识别图像中物体之间的边界。
- 目标识别： 识别并定位图像中的特定对象。
- 特征提取： 提取图像中的关键特征，如纹理、形状和颜色信息。
图像处理应用领域：
- 医学影像处理： 用于诊断、治疗规划和手术导航。
- 计算机视觉： 用于实现机器视觉系统，如人脸识别、目标跟踪等。
- 遥感图像处理： 用于分析地球观测卫星传感器获取的图像。
数字图像处理的挑战与发展趋势：
- 实时处理： 处理大规模高分辨率图像的实时需求。
- 深度学习： 使用深度学习方法进行更复杂的图像分析任务。
- 图像安全性： 开发用于图像水印、加密和隐私保护的技术。

数字图像处理是图像的魔法，将普通像素变成可视艺术品。数字图像处理就像是一个让我们在像素的海洋中畅游的冒险旅程，让我们从图像中发现不可思议的宝藏，同时也让我们变身为图像的掌控者，用数学的魔法为图像创造新的奇迹。所以，让我们一起跟随这位数字图像处理的魔法师，用笑容和好奇心，开启一场图像之旅吧！

⛳️2. 数字图像傅立叶变换

🌍一、研究目的

深化对DFT算法原理和基本性质的理解： 通过使用快速傅立叶变换（FFT）实现数字图像的傅立叶变换，旨在加深对DFT算法原理的理解。由于FFT是DFT的一种快速算法，因此通过分析FFT的算法结果，可以验证其满足DFT的基本性质。
熟悉FFT算法原理和应用子程序： 目标是熟悉快速傅立叶变换算法的原理，并了解如何有效地应用FFT子程序，以提高对傅立叶变换的实际操作能力。
掌握FFT在信号谱分析中的应用方法： 学习使用FFT对连续信号和时域离散信号进行谱分析的方法，重点关注可能出现的分布误差及其原因。这将有助于在实际场景中正确应用FFT，提高信号分析的准确性。
实现数字图像傅立叶变换算法并分析实验结果： 设计并实现数字图像傅立叶变换算法，详细描述其原理。进行数字图像傅立叶变换实验，并对实验结果进行深入分析，从中获取有关图像频谱的信息。

🌍二、研究环境

MATLAB R2022a的安装：
- 背景： MATLAB是一种高级的数值计算软件，广泛应用于工程、科学和其他领域。
- 目的： 在研究中使用MATLAB进行数值计算、图像处理等操作，以支持实验和数据分析。
- 操作： 详细描述安装MATLAB R2022a的步骤，包括获取安装文件、系统要求和安装过程中可能的注意事项。
环境配置用于数字图像实验：
- 背景： 数字图像处理是现代科学研究中的重要组成部分，需要特定的环境配置以确保实验的成功运行。
- 目的： 为了支持数字图像实验，需要配置MATLAB环境，包括添加必要的工具箱、设置路径等。
- 操作： 详细描述配置环境的步骤，包括添加图像处理工具箱、检查依赖项，并确保MATLAB环境能够正确识别和处理数字图像文件。

🌍三、实验原理与方法

🌕3.1 傅立叶（Fourier）变换的定义

对于二维信号，二维连续傅立叶变换定义为：

正变换：

F ( u , v ) = \int _ { - \infty } ^ { + \infty } \int _ { - \infty } ^ { + \infty } f ( x , y ) e ^ { - j 2 \pi ( u x + v y ) } d x d y

反变换：

F ( x , y ) = \int _ { - \infty } ^ { + \infty } \int _ { - \infty } ^ { + \infty } F ( u , v ) e ^ { j 2 \pi ( u x + v y ) } d u d v

二维离散傅立叶变换为：

正变换：

F ( u , v ) = \frac { 1 } { M N } \sum _ { x = 0 } ^ { M - 1 } \sum _ { y = 0 } ^ { M - 1 } f ( x , y ) e ^ { - j 2 \pi ( u x / M + v y / N ) } v = 0 , 1 , \Lambda , M - 1 \\ v = 0 , 1 , \Lambda , N - 1

反变换：

F( x , y ) = \sum _ { u = 0 } ^ { M - 1 } \sum _ { \nu = 0 } ^ { N - 1 } F ( u , v ) e ^ { j 2 \pi ( u x / M + \nu y / N ) } x = 0 , 1 , \Lambda , M - 1 \\ y = 0 , 1 , \Lambda , N - 1

图像的傅立叶变换与一维信号的傅立叶变换变换一样，有快速算法。实际上，现在有实现傅立叶变换的芯片，可以实时实现傅立叶变换。

🌕3.2 离散余弦变换（DCT）的定义

F _ { c } ( u , v ) = \frac { 2 } { N } \sum _ { x = 0 } ^ { N - 1 } \sum _ { y = 0 } ^ { N - 1 } f ( x , y ) \cos ( \frac { \pi u ( 2 x + 1 ) } { 2 N } ) \cos ( \frac { \pi v ( 2 y + 1 ) } { 2 N } )

其逆变换为

f _ { c } ( x , y ) = \frac { 2 } { N } \sum _ { x = 0 } ^ { N - 1 } \sum _ { y = 0 } ^ { N - 1 } F ( u , v ) \cos ( \frac { m u ( 2 x + 1 ) } { 2 N } ) \cos ( \frac { m ( 2 y + 1 ) } { 2 N } )

离散余弦变换是一种在图像压缩中广泛应用的变换编码方法。它是一种将一个信号或函数表示为一系列余弦函数的线性组合的变换方式。与傅立叶变换类似，离散余弦变换也是一种频域变换方法，但其特点在于只包含余弦项，而不包含正弦项，因此被称为余弦变换。

余弦变换的主要优势之一是其在图像和信号处理中的物理意义更加明确。在离散余弦变换中，通过将输入信号或图像分解为不同频率的余弦分量，我们可以分析和表示原始信号的能量分布情况。这种频率域分析使得我们能够理解信号或图像的频率特征，进而进行有针对性的处理和压缩。

另一个重要的优势是离散余弦变换能够简化傅立叶变换的计算过程。傅立叶变换将信号或函数表示为正弦和余弦函数的线性组合，包含了复数运算，而离散余弦变换仅考虑了余弦项，避免了复数运算的复杂性。这种简化使得离散余弦变换在实际应用中更加高效和可行。

离散余弦变换在图像压缩中的应用尤为重要。通过将图像分解为不同频率的余弦分量，可以利用其频率特性来减少冗余信息，从而实现图像的高效压缩。在JPEG压缩算法中，离散余弦变换被广泛应用于图像的编码过程，将图像从空间域转换到频率域，然后通过量化和熵编码等步骤来实现压缩。

🌕3.3 矩阵形式的傅立叶变换的算法如下：

数字图像F的傅立叶正变换：

数字图像F的傅立叶反变换：

变换矩阵：

A = A _ { 1 } - \frac { 1 } { \sqrt { N } } \begin{vmatrix} W ^ { 0 }\ W ^ { 0 } \ W ^ { 0 } \ \wedge \ W ^ {0} \\ W ^ { 0 }\ W ^ { 1 } \ W ^ { 2 } \ \wedge \ W ^ {N-1} \\ W ^ { 0 }\ W ^ { 2 } \ W ^ { 3 } \ K \ W ^ {2(N-1)} \\ W ^ { 0 }\ W ^ { N-1} \ W ^ { 2(N-1)} \ \wedge \ W ^ {(N-1)^{2}} \end{vmatrix}

🌍四、实验内容与思考

🌕4.1 傅立叶变换

对原图像进行傅立叶变换，实验结果如图1：

图1

分析：图像显示了原图像及其傅立叶频谱。观察傅立叶谱中心对称，在此图像进行傅立叶变换的计算之前被乘以

，以此增强了灰度级细节。

🌕4.2 傅立叶频谱

输出彩色图像greens.jpg的傅立叶频谱，实验结果如图2：

图2

分析：

图像显示了原图像和其彩色图像傅立叶频谱。可以看出图像的频率分布是以原点为圆心，对称分布的。变换之后的图像在原点平移之前四角是低频，最亮，平移之后中间部分是低频，最亮，亮度大说明低频的能量大（幅角比较大）

🌕4.3 二维DCT变换

对彩色图像football.jpg进行二维DCT变换，实验结果如图3:

图3

分析：

二维DCT变换后的频谱图亮点在左上角。

🌍五、实验代码与思考

🌕5.1 实验代码

利用Matlab语言编写的数字图像处理的例程如下：

 傅立叶变换Matlab图像的DFT
clc;
figure(1);
load imdemos saturn2;
imshow(saturn2);
title('原图像');
figure(2);
S=fftshift(fft2(saturn2));
figure(2);
S=fftshift(fft2(saturn2));
imshow(log(abs(S)),[]);
title('原图像傅立叶频谱');
 彩色图像的傅立叶频谱
figure(1);
A=imread('greens.jpg');
B=rgb2gray(A);
imshow(B);
title('原图像');
S=fftshift(fft2(B));
figure(2);
imshow(log(abs(S)),[]);
title('彩色图像的傅立叶频谱');

 二维DCT变换
RGB=imread('football.jpg');
figure(1);
imshow(RGB);
title('彩色图像');
GRAY=rgb2gray(RGB);
figure(2);
imshow(GRAY);
title('灰色图像');
DCT=dct2(GRAY);
figure(3);
imshow(log(abs(DCT)),[]);
title('二维DCT变换');

源码分析：

这段代码实现了傅立叶变换和二维离散余弦变换（DCT）在MATLAB中对图像进行频谱分析的过程。我将对每个部分进行详细分析： 1.傅立叶变换Matlab图像的DFT：

通过load命令加载名为"imdemos"的MATLAB工具箱中的图像"saturn2"。
在第一个figure(1)中，使用imshow函数显示加载的图像"saturn2"，并设置标题为"原图像"。
在第二个figure(2)中，进行傅立叶变换的频谱分析：
通过fft2函数对图像"saturn2"进行二维傅立叶变换。
使用fftshift函数对傅立叶变换结果进行中心化，将零频率分量移动到频谱的中心。
使用log函数取对数，并使用imshow函数显示取对数后的傅立叶频谱。
[]作为第二个参数传递给imshow函数，表示使用默认的显示范围。

2.设置标题为"原图像傅立叶频谱"。

彩色图像的傅立叶频谱：
在第一个figure(1)中，使用imread函数读取名为"greens.jpg"的彩色图像。
使用rgb2gray函数将彩色图像转换为灰度图像。
使用imshow函数显示灰度图像，设置标题为"原图像"。
在第二个figure(2)中，进行彩色图像的傅立叶频谱分析。
通过fft2函数对灰度图像进行二维傅立叶变换。
使用fftshift函数进行中心化，将零频率分量移动到频谱的中心。
使用log函数取对数，并使用imshow函数显示取对数后的傅立叶频谱。
设置标题为"彩色图像的傅立叶频谱"。

3.二维DCT变换：

使用imread函数读取名为"football.jpg"的彩色图像，并将其赋值给变量RGB。
在第一个figure(1)中，使用imshow函数显示彩色图像RGB，设置标题为"彩色图像"。
使用rgb2gray函数将彩色图像转换为灰度图像，并将其赋值给变量GRAY。
在第二个figure(2)中，使用imshow函数显示灰度图像GRAY，设置标题为"灰色图像"。

4.在第三个figure(3)中，进行二维DCT变换的频谱分析：

通过dct2函数对灰度图像GRAY进行二维离散余弦变换（DCT）。
使用log函数取对数，并使用imshow函数显示取对数后的DCT结果，即DCT变换后的频谱。
设置标题为"二维DCT变换"。

上述代码展示了图像频谱分析的过程，使用了傅立叶变换和二维离散余弦变换。傅立叶变换能够将图像从空间域转换到频率域，分析图像的频率成分；而二维离散余弦变换则常用于图像压缩和信号处理中，能够将图像表示为一系列余弦函数的线性组合，提取图像的频率特征。在代码中，傅立叶变换部分首先加载了一个图像，并对其进行傅立叶变换。通过fft2函数进行二维傅立叶变换，得到的结果是复数形式的频谱。然后通过fftshift函数进行中心化，将频谱的零频率分量移到频谱的中心位置。最后，使用log函数对频谱的幅度进行对数变换，以便更好地显示频谱的动态范围。彩色图像的傅立叶频谱部分同样进行了类似的操作。首先加载彩色图像，然后将其转换为灰度图像。接着进行傅立叶变换和频谱分析的步骤，得到彩色图像的傅立叶频谱。二维DCT变换部分先加载了彩色图像，并显示了原图像和灰度图像。然后使用dct2函数对灰度图像进行二维离散余弦变换，得到DCT变换后的结果。类似地，通过log函数对DCT结果的幅度进行对数变换，以便更好地显示频谱的动态范围。这段代码的目的是展示图像频谱分析的过程，通过傅立叶变换和二维离散余弦变换，可以将图像从空间域转换到频率域，并通过频谱分析来了解图像的频率特征。

🌕5.2 实验思考

（一）在遥感数字图像傅立叶变换的频谱图上原点附近出现的亮点的来源是什么？

在遥感数字图像的傅立叶变换频谱图上，原点附近出现的亮点通常是由直流分量或低频分量引起的。傅立叶变换将图像从时域转换到频域，频谱图显示了图像中不同频率分量的强度信息。在频谱图中，原点代表零频率或直流分量，即图像中的均值或平均亮度。由于直流分量的能量通常较高，因此在频谱图中原点附近会出现一个亮点。这个亮点的出现源于遥感图像中存在的一些特性。首先，遥感图像通常由大面积地物组成，例如陆地、海洋或云层等，这些地物的亮度变化相对较缓，因此对应的低频分量较强。其次，遥感图像中可能存在较大的辐射或光照变化，这会导致图像中存在较高的直流分量。另外，由于遥感图像的数据通常经过预处理和校正，包括辐射校正、大气校正等，这些操作可能会引入一些偏置，进一步增强了直流分量的能量。频率和变换率直接相关，可以将傅立叶变换的频率与图像中的强度变换模式联系起来。变化最慢的频率成分 (u = v = 0) 对应一幅图像的平均灰度级。当从变换的原点移开时，低频对应着图像的慢变化分量，例如一幅房间的图像，墙和地板可能对应平滑的灰度分量，当我们进一步移开原点时，较高的频率开始对应图像中变化越来越快的灰度级。这些是物体的边缘和由灰度级的突发改变（如噪声）标志的图像成分。频谱图上亮点在中心是经过中心化后的得到的频谱。通过观察傅立叶变换后的频谱图，也叫功率图，我们首先就可以看出，图像的能量分布，如果频谱图中暗的点数更多，那么实际图像是比较柔和的（因为各点与邻域差异都不大，梯度相对较小），反之，如果频谱图中亮的点数多，那么实际图像一定是尖锐的，边界分明且边界两边像素差异较大的。因此，在遥感数字图像的傅立叶变换频谱图上，原点附近出现的亮点主要是由直流分量或低频分量引起的，反映了图像中大面积地物的亮度特性以及辐射或光照变化的影响。这些亮点提供了有关图像平均亮度和低频分量信息的线索，对于遥感图像的分析和处理具有一定的意义。

（二）如何在遥感数字地图（或普通景物的数字图像）的频谱图上识别地物（或类别）的延伸方向？

在遥感数字地图或普通景物的数字图像的频谱图上识别地物或类别的延伸方向，可以通过以下步骤进行：

获取频谱图：首先，对原始图像进行傅立叶变换，得到频谱图。可以使用快速傅立叶变换（FFT）算法或其他相应的频谱分析方法来获取频谱图。
频谱图预处理：对频谱图进行预处理，包括去除直流分量、进行对数变换等。去除直流分量可以通过将频谱图中的原点附近区域置零来实现，以便更好地观察频谱特征。对数变换可以应用于频谱图的幅度部分，以增强低频信息。
频谱图分析：观察频谱图中的特征，并关注延伸方向的信息。延伸方向通常表现为一条或多条明显的带状结构，代表不同地物或类别的能量分布方向。可以通过以下方法来识别延伸方向：
傅立叶频谱图的主要方向：使用方向性滤波器（如Gabor滤波器）或自适应滤波器，检测频谱图中的主要方向。这些滤波器可以突出不同方向上的频谱能量，帮助确定延伸方向。
线性回归分析：对频谱图中的能量分布进行线性回归分析，拟合出一条直线。该直线的斜率和方向可以表示延伸方向。
频谱图的梯度：计算频谱图的梯度，观察梯度的方向。梯度方向指向频谱图中变化最剧烈的方向，通常与延伸方向相对应。
其他特征提取方法：可以使用形态学操作、边缘检测算法等来提取频谱图中的特征，如角点、边缘、纹理等，并进一步分析其分布和方向。
可视化和解释：将识别到的延伸方向在频谱图上进行可视化，例如通过绘制箭头或标记。同时，根据所识别的延伸方向，结合原始图像的地理信息、特征知识等，解释其对应的地物或类别。延伸方向可能与地物的形状、方位或场景的特征相关联，因此对延伸方向的解释可以提供更多的地物或类别信息。
验证和验证：识别延伸方向后，进行验证和验证是非常重要的。可以通过以下方法来验证延伸方向的准确性和可靠性：
地面真实数据：使用地面真实数据（例如航空影像、卫星影像、地面测量数据等）进行对比和验证。将识别的延伸方向与地面观测结果进行比较，以确定其一致性和一致性。
频谱图的局部区域：对频谱图中的局部区域进行分析，检查是否存在与延伸方向相一致的特征。例如，可以选择地物的局部区域进行频谱分析，并与全局延伸方向进行比较。
专家知识和经验：结合领域专家的知识和经验，对延伸方向的准确性进行评估。专家可以提供关于地物形状、空间布局和景观特征的有价值见解。

由频率域与空间域的对应关系可知，在空间域的上边缘方向与频率域的延伸方向相互垂直。因此，通过图像的频率就可以判断原图像上物体的延伸方向。通过上述步骤，可以在遥感数字地图或普通景物的数字图像的频谱图上识别地物或类别的延伸方向。这种方法结合了频谱分析和特征提取的技术，以及领域知识和专家经验的综合运用。

🌍六、研究感悟

FFT算法原理和子程序应用熟悉：
- 通过实验，深入了解FFT算法的原理和子程序的应用。
- 实现数字图像傅立叶变换算法，培养对FFT的操作和应用的熟练度。
傅立叶变换频域分析的深入体会：
- 理解傅立叶变换作为频域分析工具的强大功能。
- 使用Matlab的fft2函数对图像进行傅立叶变换，通过fftshift函数中心化频谱，提高频谱观察和分析的便捷性。
傅立叶频谱对图像特征的信息提取：
- 观察傅立叶频谱，发现其对图像特征提供有用信息。
- 分析频谱中的明亮点和模式，推测出图像中的边缘、纹理等重要频率成分。
傅立叶变换在图像压缩和数据传输中的应用：
- 了解傅立叶变换不仅局限于频域分析，还在图像压缩和数据传输等领域发挥关键作用。
- 尝试二维离散余弦变换（DCT）作为图像压缩技术，观察变换后的系数图像，认识到其在图像处理领域的广泛应用。