LDA—基础知识

一、简介

隐含狄利克雷分布（Latent Dirichlet Allocation，简称LDA）是由 David M. Blei、Andrew Y. Ng、Michael I. Jordan 在2003年提出的，是一种词袋模型，它认为文档是一组词构成的集合，词与词之间是无序的。一篇文档可以包含多个主题，文档中的每个词都是由某个主题生成的，LDA给出文档属于每个主题的概率分布，同时给出每个主题上词的概率分布。LDA是一种无监督学习，在文本主题识别、文本分类、文本相似度计算和文章相似推荐等方面都有应用。

二、基础知识

1.1 贝叶公式

贝叶斯学派的最基本的观点是：任一个未知量 都可看作一个随机变量，应该用一个概率分布去描述对 的未知状况，这个概率分布是在抽样前就有关于 的先验信息的概率陈述，这个概率分布被称为先验分布。

从贝叶斯观点看，样本 的产生要分两步进行，首先设想从先验分布 产生一个样本 ，这一步是“老天爷”做的，人们是看不到的，故用“设想”二字。第二步是从总体分布 产生一个样本 ，这个样本是具体的，人们能看得到的，此样本 发生的概率是与如下联合密度函数成正比。

这个联合密度函数是综合了总体信息和样本信息，常称为似然函数，记为 。

由于 是设想出来的，它仍然是未知的，它是按先验分布 产生的，要把先验信息进行综合，不能只考虑 ，而应对 的一切可能加以考虑，故要用 参与进一步综合，所以样本 和参数 的联合分布（三种可用的信息都综合进去了）：

我们的任务是要对未知数 作出统计推断，在没有样本信息时，人们只能根据先验分布对 作出推断。在有样本观察值 之后，我们应该依据 对 作出推断，为此我们把 作如下分解：

其中 是 的边缘密度函数。

它与 无关， 中不含 的任何信息。因此能用来对 作出推断的仅是条件分布 ：

这就是贝叶斯公式的密度函数形式，在样本 给定下， 的条件分布被称为 的后验分布。它是集中了总体、样本和先验等三种信息中有关 的一切信息，而又是排除一切与 无关的信息之后得到的结果，故基于后验分布 对 进行统计推断是更合理的。

一般说来，先验分布 是反映人们在抽样前对 的认识，后验分布 是反映人们在抽样后对 的认识，之间的差异是由于样本 的出现后人们对 认识的一种调整，所以后验分布 可以看作是人们用总体信息和样本信息（抽样信息）对先验分布 作调整的结果。下面我们介绍三种估计方法：

1. 最大似然估计（ML）

最大似然估计是找到参数 使得样本 的联合概率最大，并不会考虑先验知识，频率学派和贝叶斯学派都承认似然函数，频率学派认为参数 是客观存在的，只是未知。求参数 使似然函数最大，ML估计问题可以用下面公式表示：

通常可以令导数为 0 求得 的值。ML估计不会把先验知识考虑进去，很容易出现过拟合的现象。我们举个例子，抛一枚硬币，假设正面向上的概率为 ，抛了 次，正面出现 次，反面出现 次， 表示正面， 表示反面，我们用ML估计：

如果 , ，则 ，似乎比我们认知的 0.5 高了很多。

2. 最大后验估计（MAP）

MAP是为了解决ML缺少先验知识的缺点，刚好公式(5)后验概率集中了样本信息和先验信息，所以MAP估计问题可以用下面公式表示：

MAP不仅希望似然函数最大，还希望自己出现的先验概率也最大，加入先验概率，起到正则化的作用，如果 服从高斯分布，相当于加一个L2范数正则化，如果 服从拉普拉斯分布，相当于加一个L1范数正则化。我们继续前面抛硬币的例子，大部分人认为 应该等于0.5，那么还有少数人认为 取其他值，我们认为 的取值服从Beta分布。

我们取 ，即 以最大的概率取0.5，得到 。

3. 贝叶斯估计

前面介绍的 ML 和 MAP 属于点估计，贝叶斯估计不再把参数 看成一个未知的确定值，而是看成未知的随机变量，利用贝叶斯定理结合新的样本信息和参数 的先验分布，来得到 的新的概率分布（后验分布）。贝叶斯估计的本质是通过贝叶斯决策得到参数 的最优估计 ，使得贝叶斯期望损失最小。贝叶斯期望损失为：

是损失函数，我们希望 最小。如果 ，则：

所以贝叶斯估计值为在样本 条件下 的期望值，贝叶斯估计的步骤为：

• 确定参数 的先验分布
• 利用贝叶斯公式，求 的后验分布：
• 求出贝叶斯的估计值：

我们继续前面的抛硬币的例子，后验概率：

其中 B(α,β)=∫10pα−1(1−p)β−1dp，所以可以得：

^p=n(1)+αn(1)+n(0)+α+β(15)

1.2 Gamma函数

Γ(x)=∫∞0tx−1e−tdt(16)

通过分部积分的方法，可以得到一个递归性质。

Γ(x+1)=∫∞0txe−tdt=−∫∞0txde−t=−[txe−t]∞0+∫∞0e−tdtx=x∫∞0tx−1e−tdt=xΓ(x)(17)

Γ(x) 函数可以当成是阶乘在实数集上的延拓，Γ(n)=(n−1)!。

1.3 二项分布

在概率论中，试验 E 只有两个可能结果：A 及 ¯A ，则称 E 为伯努利(Bernoulli)试验。设 p(A)=p，则 p(¯A)=1−p。将 E 独立重复地进行 n 次，则称这一串重复的独立试验为 n 重伯努利试验，这里重复是指在每次试验中 p(A)=p 保持不变，独立是指各次试验的结果互不影响。以 X 表示 n 重伯努利试验中事件 A 发生的次数，称随机变量 X 服从参数为 n,p 的二项分布，记为 X∼B(n,p)。

p(X=k)=(nk)pk(1−p)n−k(18)

1.4 Beta分布

Beta分布是指一组定义在 (0,1) 区间的连续概率分布，其概率密度函数是：

Beta(p|α,β)=pα−1(1−p)β−1∫10pα−1(1−p)β−1dp=Γ(α+β)Γ(α)Γ(β)pα−1(1−p)β−1(19)

1）B(α,β)=Γ(α)Γ(β)Γ(α+β)=∫10pα−1(1−p)β−1dp。Γ(α)=∫∞0xα−1e−xdx,Γ(β)=∫∞0yβ−1e−ydy

证明：

Γ(α)Γ(β)=∫∞0xα−1e−xdx∫∞0yβ−1e−ydy=∫∞0∫∞0xα−1yβ−1e−(x+y)dydx(20)

令 t=x+y，当 y=0,t=x；y=∞,t=∞，可得：

Γ(α)Γ(β)=∫∞0∫∞xxα−1(t−x)β−1e−tdtdx=∫∞0∫t0xα−1(t−x)β−1e−tdxdt(21)

令 x=μt,μ∈[0,1]，可得：

Γ(α)Γ(β)=∫∞0∫10(μt)α−1(t−μt)β−1e−tdμtdt=∫∞0tα+β−1e−tdt∫10μα−1(1−μ)β−1dμ=Γ(α+β)∫10μα−1(1−μ)β−1dμΓ(α)Γ(β)Γ(α+β)=∫10μα−1(1−μ)β−1dμ(22)

2）期望 E(p)=αα+β

证明：

E(p)=∫10pΓ(α+β)Γ(α)Γ(β)pα−1(1−p)β−1dp=Γ(α+β)Γ(α)Γ(β)∫10pα(1−p)β−1dp=Γ(α+β)Γ(α)Γ(β)Γ(α+1)Γ(β)Γ(α+β+1)∫10Γ(α+β+1)Γ(α+1)Γ(β)pα(1−p)β−1dp=Γ(α+β)Γ(α)Γ(β)Γ(α+1)Γ(β)Γ(α+β+1)∫10Beta(p|α+1,β)dp=Γ(α+β)Γ(α)Γ(β)αΓ(α)Γ(β)(α+β)Γ(α+β)=αα+β(23)

1.5 多项式分布

多项式分布是二项式分布的推广，二项式分布做 n 次伯努利试验，规定每次试验的结果只有两个，而多项式分布在 N 次独立试验中结果有 K 种，且每种结果都有一个确定的概率 p，仍骰子是典型的多项式分布。

Mult(→n|→p,N)=(N→n)K∏k=1pnkk(24)

其中 K∑k=1nk=N,K∑k=1pk=1(N→n)=N!∏knk!。

1.6 Dirichlet分布

Dirichlet 分布是 Beta 分布在高维度上的推广，概率密度函数是：

Dir(→p|→α)=Γ(∑Kk=1αk)∏Kk=1Γ(αk)K∏k=1pαk−1k=1Δ(→α)K∏k=1pαk−1k(25)

1）Δ(→α)=∏Kk=1Γ(αk)Γ(∑Kk=1αk)=∫10K∏k=1pαk−1kd→p

2）期望 E(→p)=(α1∑Kk=1αk,α2∑Kk=1αk,⋅⋅⋅,αK∑Kk=1αk)。

1.7 共轭先验分布

在贝叶斯中，如果后验分布与先验分布属于同类分布，则先验分布与后验分布被称为共轭分布，而先验分布被称为似然函数的共轭先验。

1．Beta-Binomial共轭

1）先验分布

Beta(p|α,β)=1B(α,β)pα−1(1−p)β−1(26)

2）二项式似然函数

B(n1,n2|p)=(nn1)pn1(1−p)n2(27)

3）后验分布

B(n1,n2|p)Beta(p|α,β)∫10B(n1,n2|p)Beta(p|α,β)dp=pα+n1−1(1−p)β+n2−1∫10pα+n1−1(1−p)β+n2−1dp=pα+n1−1(1−p)β+n2−1B(α+n1,β+n2)∼Beta(α+n1,β+n2)(28)

即可以表达为 Beta(p|α,β)+B(n1,n2|p)=Beta(p|α+n1,β+n2)，取一个特殊情况理解

Beta(p|1,1)+B(α−1,β−1|p)=Beta(p|α,β)，Beta(p|1,1) 恰好是均匀分布 uniform(0,1)，假设有一个不均匀的硬币抛出正面的概率为 p，抛出 n 次后出现正面和反面的次数分别是 n1 和 n2 ，开始我们对硬币不均匀性一无所知，所以应该假设 p∼uniform(0,1) ，当有了试验样本，我们加入样本信息对 p 的分布进行修正, p 的分布由均匀分布变为 Beta 分布。

2．Dirichlet-Multinomial共轭

1）先验分布

Dir(→p|→α)=1Δ(→α)K∏k=1pαk−1k(29)

2）多项分布似然函数

Mult(→n|→p,N)=(N→n)K∏k=1pnkk(30)

3）后验分布

Dir(→p|→α)Mult(→n|→p,N)∫10Dir(→p|→α)Mult(→n|→p,N)d→p=K∏k=1pαk+nk−1k∫10K∏k=1pαk+nk−1kd→p=K∏k=1pαk+nk−1kΔ(→α+→n)∼Dir(→p|→α+→n)(31)

即可以表达为 Dir(→p|→α)+Mult(→n|→p,N)=Dir(→p|→α+→n)

1.8 马氏链及其平稳分布

马氏链的数学定义很简单，状态转移的概率只依赖于前一个状态。

P(Xt+1=x|Xt,Xt−1,⋅⋅⋅)=P(Xt+1=x|Xt)(32)

看一个马氏链的具体例子，马氏链表示股市模型，共有三种状态：牛市(Bull market)、熊市(Bear market)、横盘(Stagnant market)，每一个转态都以一定的概率转化到下一个状态，如图1.1所示。

这个概率转化图可以以矩阵的形式表示，如果我们定义矩阵 P 某一位置 (i,j) 的值为 P(j|i)，表示从状态 转化到状态 的概率，这样我们可以得到马尔科夫链模型的状态转移矩阵为：

P=⎛⎜⎝0.90.0750.0250.150.80.050.250.250.5⎞⎟⎠

假设初始概率分布为 π0=[0.30.40.3]，π1=π0P,π2=π1P=π0P2,⋅⋅⋅,πn=πn−1P=π0Pn。从第60轮开始 π60,⋅⋅⋅,πn 的值保持不变，为 [0.6250.31250.0625] 。我们更改初始概率，π0=[0.70.20.1]，从55轮开始 π55,⋅⋅⋅,πn 的值保持不变，为 [0.6250.31250.0625] 。两次给定不同的初始概率分布，最终都收敛到概率分布 π=[0.6250.31250.0625] ，也就是说收敛的行为和初始概率分布 π0 无关，这个收敛的行为主要是由概率转移矩阵 P 决定的，可以计算下 Pn。

P63=P64=⋅⋅⋅=⎡⎢⎣0.6250.31250.06250.6250.31250.06250.6250.31250.0625⎤⎥⎦

当 n 足够大的时候，Pn 矩阵的每一行都是稳定地收敛到 π=[0.6250.31250.0625] 这个概率分布。这个收敛现象并不是这个马氏链独有的，而是绝大多数马氏链独有的。关于马氏链的收敛有如下定理：

定理1.1 如果一个非周期马氏链具有转移概率矩阵 P，且它的任何两个状态是连通的，那么 limn→∞Pnij 存在且与 i 无关，我们有：

1）limn→∞Pnij=π(j)

2）limn→∞Pn=⎡⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢⎣π(1)π(2)⋅⋅⋅π(j)⋅⋅⋅π(1)π(2)⋅⋅⋅π(j)⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅π(1)π(2)⋅⋅⋅π(j)⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎤⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥⎦

3）π(j)=∞∑i=0π(i)Pij

4）π 是方程 πP=π 的唯一非负解，其中 π=[π(1)π(2)⋅⋅⋅π(j)⋅⋅⋅],∞∑j=1π(j)=1。

关于上述定理，给出几点解释：

1） 马氏链的状态数可以是有限的，也可以是无限的，因此可以用于连续概率分布和离散概率分布。

2） 非周期马氏链：马氏链的状态转化不是循环的，如果是循环的则永远不会收敛，我们遇到的一般都是非周期马氏链。对于任意某一状态 i，d 为集合 {n|n≥1,Pnii>0} 的最大公约数，如果 d=1，则该状态为非周期。

3） 任何两个状态是连通的：从任意一个状态可以通过有限步到达其他的任意状态，不会出现条件概率一直为0导致不可达的情况。

4） π 称为马氏链的平稳分布。

如果从一个具体的初始状态 x0 开始，沿着马氏链按照概率转移矩阵做跳转，那么可以得到一个转移序列 x0,x1,⋅⋅⋅,xn,xn+1,⋅⋅⋅，由于马氏链的收敛行为， 都将是平稳分布 的样本。

1.9 MCMC

1. 接受-拒绝采样

对于不常见的概率分布 样本，使用接受-拒绝采样对可采样的分布 进行采样得到，如图1.2所示，采样得到 的一个样本 ，从均匀分布 中采样得到一个值 ，如果 落在图中灰色区域则拒绝这次采样，否则接受样本 ，重复上面过程得到 个接受的样本，则这些样本服从 分布，具体过程见算法1.1。

下面我们来证明下接受-拒绝方法采样得到的样本服从 分布。

证明：accept 服从 分布，即 。

2. MCMC

给定概率分布 ，希望能够生成它对应的样本，由于马氏链能收敛到平稳分布，有一个很好的想法：如果我们能构造一个转移矩阵为 的马氏链，使得该马氏链的平稳分布恰好是 ，那么我们从任何一个初始状态出发沿着马氏链转移，得到一个转移序列 ，如果马氏链在第 步已经收敛了，于是我们可以得到 的样本 ，所以关键问题是如何构造转移矩阵 ，我们是基于下面的定理。

定理1.2（细致平稳条件） 如果非周期马氏链的转移矩阵 和分布 满足：

则 是马氏链的平稳分布。

证明很简单，有公式(34)得：

，满足马氏链的收敛性质。这样我们就有了新的思路寻找转移矩阵 ，即只要我们找到矩阵 使得概率分布 满足细致平稳条件即可。

假设有一个转移矩阵为 的马氏链（ 表示从状态 转移到状态 的概率），通常情况下很难满足细致平稳条件的，即：

我们对公式(36)进行改造，使细致平稳条件成立，引入 。

如何取值才能使公式(37)成立？最简单的我们可以取：

， 所以我们有:

转移矩阵 满足细致平稳条件，因此马氏链 的平稳分布就是 ！

我们可以得到一个非常好的结论，转移矩阵 可以通过任意一个马氏链转移矩阵 乘以 得到， 一般称为接受率，其取值范围为 ，可以理解为一个概率值，在原来的马氏链上，从状态 以 的概率跳转到状态 的时候，我们以一定的概率 接受这个转移，很像前面介绍的接受-拒绝采样，那里以一个常见的分布通过一定的接受-拒绝概率得到一个不常见的分布，这里以一个常见的马氏链状态转移矩阵 通过一定的接受-拒绝概率得到新的马氏链状态转移矩阵 。

总结下MCMC的采样过程。

MCMC采样算法有一个问题，如果接受率 比较小，马氏链容易原地踏步，拒绝大量的跳转，收敛到平稳分布 的速度很慢，有没有办法可以使 变大？

3. M-H采样

M-H采样可以解决MCMC采样接受概率过低问题，回到公式(37)，若 ，，即：

公式(40)两边同时扩大5倍，仍然满足细致平稳条件，即：

所以我们可以把公式(37)中的 和 同比例放大，使得其中最大的放大到 1，这样提高了采样中的接受率，细致平稳条件也没有打破，所以可以取：

提出一个问题：按照MCMC中介绍的方法把 ，是否可以保证 每行加和为1？

1.10 Gibbs Sampling

对于高维的情形，由于接受率 ，M-H 算法效率不够高，我们能否找到一个转移矩阵 使得接受率 呢？从二维分布开始，假设 是一个二维联合概率分布，考察某个特征维度相同的两个点 和 ，容易发现下面等式成立：

所以可得：

也就是：

观察细致平稳条件公式，我们发现在 这条直线上，如果用条件分布 作为任何两点之间的转移概率，那么任何两点之间的转移都满足细致平稳条件。同样的，在 这条直线上任取两点 和 ，我们可以得到：

基于上面的发现，我们可以构造分布 的马氏链的状态转移矩阵 。

有了上面的转移矩阵 ，很容易验证对于平面任意两点 ，都满足细致平稳条件。

所以这个二维空间上的马氏链将收敛到平稳分布 ，称为Gibbs Sampling算法。

整个采样过程中，我们通过轮换坐标轴，得到样本 ，马氏链收敛后，最终得到的样本就是 的样本。当然坐标轴轮换不是必须的，我们也可以每次随机选择一个坐标轴进行采样，在 时刻，可以在 轴和 轴之间随机的选择一个坐标轴，然后按照条件概率做转移。

二维可以很容易推广到高维的情况，在 维空间中对于概率分布 。

1.11 EM算法

我们先介绍凸函数的概念， 的定义域是实数集，若 且 ，则 是凸函数，若 ，则 是严格凸函数；若 是向量且hessian矩阵 是半正定矩阵，则 是凸函数，若 是正定矩阵，则 是严格凸函数。

定理1.3（Jensen不等式） 的定义域是实数集，且是凸函数，则有：

如果 是严格凸函数，只有当 是常量，公式(49)等式成立即 。

假设训练集 ，每个样本相互独立，我们需要估计模型 的参数 ，由于含有隐变量 ，所以很难直接用最大似然求解，如果 已知，那么就可以用最大似然求解。

其实我们的目标是找到 和 使 最大，也就是分别对 和 求偏导，然后令其为0，理想是美好的，现实是残酷的，公式(49)求偏导后变的很复杂，求导前要是能把求和符号从对数函数中提出来就好了。EM算法可以有效地解决这个问题，引入 表示 的概率分布（）。由公式(50)可得：

最后一步是利用Jensen不等式，，，所以 是凹函数，是 的期望，所以有：

由公式(51)可知，我们可以不断地最大化下界，以提高 ，最终达到最大值。如果固定 ，那么 的下界就取决于 ，可以通过调整这个概率，使得下界不断地上升逼近 ，最终相等，然后固定 ，调整 ，使下界达到最大值，此时 为新的值，再固定 ，调整 ，反复直到收敛到 的最大值。现在我们有两个问题需要证明，1. 下界何时等于 ；2. 为什么可以收敛到最大值。

第一个问题，由Jensen不等式定理中等式成立条件可知， 为常量，即：

再由 得：

下面我们先给出 EM 算法，然后再讨论第二个问题，E步：固定 ，根据公式(53)选择 使得下界等于 ，M步：最大化下界，得到新的 值。EM算法如下：

现在我们开始讨论第二个问题， 和 是EM迭代过程的参数估计，我们需要证明 ，也就是EM算法是单调地提高 ，。

第一个不等式是因为：

公式(57)中，，。

第二个不等式是因为 是为了

参考文献

1(http://www.arbylon.net/publications/text-est.pdf)

2(http://www.iro.umontreal.ca/~nie/IFT6255/Hofmann-UAI99.pdf)

3(http://www.jmlr.org/papers/volume3/blei03a/blei03a.pdf)

5(http://cs229.stanford.edu/notes/cs229-notes8.pdf)