支配集、独立集、覆盖集

1. 定义

1.1 支配集

• 设无向简单图$G = \lt V,E \gt, V^* \subseteq V$ ，若$\forall v_i \in V - V^*, \exists v_j \in V^*$使得 $(v_i,V_j) \in E$则称$V^*$为 $G$ 的一个支配集，并称 $v_j$支配$v_i$。
• 设$V*$是 $G$ 的支配集，且$V*$ 的任何真子集都不是支配集，则称$V*$ 为极小支配集。
• $G$的顶点最少的支配集称作 $G$的最小支配集。
• 最小支配集中的顶点个数称作$G$ 的支配数，记作 $\gamma_0(G)$，简记为$\gamma_0$​ 。

1.2 独立集

1.2.1 点独立集

• 设无向简单图$G = \lt V,E \gt, V^* \subseteq V$ ，若 $V*$中任何两个顶点均不相邻，则称 $V*$$为 G$ 的点独立集，简称独立集。
• 若 $V*$中再加入任何其他的顶点都不是独立集，则称$V*$为极大点独立集。
• $G$的顶点数最多的点独立集称作 $G$的最大点独立集。
• 最大独立集的顶点数称作$G$的点独立数，记作 $\beta_0(G)$，简记为$\beta_0$。

1.2.2 边独立集

• 设无向简单图 $G = \lt V,E \gt, V^* \subseteq V$ ，若 $E^*$中任何两条边均不相邻，则称$E^*$为 $G$ 的边独立集，也称作 $G$的匹配。
• 若在 $G^*$中再加任意一条边后，所得集合都不是匹配，则称 $E^*$为极大匹配。
• $G$ 的边数最多的匹配称作最大匹配。
• 最大匹配中的边数称作边独立数或匹配数，记作 $\beta_1(G)$，简记为$\beta_1​$。
• 设 $M$为图 $G = \lt V,E \gt$的一个匹配：

1. 称 $M$中的边为匹配边，不在$M$中的边为非匹配边。
2. 与匹配边相关联的顶点为饱和点，不与匹配边相关联的顶点为非饱和点。
3. 若 $G$中每个顶点都是饱和点，则称$M$为$G$ 的完美匹配。
4. $G$ 中由匹配边和非匹配边交替构成的路径称作交错路径，起点和重点都是非饱和点的交错路径称作可增广的交错路径。
5. $G$中由匹配边和非匹配边交替构成的圈称作交错圈。

• 设 $G = \lt V_1,V_2,E \gt$为二部图，$|V_1| \leq |V_2|$ ，$M$ 为 $G$ 的一个匹配且 $|M| = |V_1|$，称 $M$ 为 $V_1$ 到$V_2$的完备匹配。

1.3 覆盖集

1.3.1 点覆盖集

• 设无向简单图$G = \lt V,E \gt, V^* \subseteq V$，若$\forall e \in E, \exists v \in V^*$ 使得$v$与 $e$ 相关联，则称$V^*$为 G 的点覆盖集，简称为点覆盖，并称 $v$覆盖 $e$ 。
• 设$V^*$是 $G$ 的点覆盖，若$V^*$的任何真子集都不是点覆盖，则称$V^*$为极小点覆盖。
• $G$的顶点个数最少的点覆盖称为 $G$的最小点覆盖。
• 最小点覆盖中的顶点个数称作 $G$的点覆盖数，记作 $\alpha_0(G)$，简记为 $\alpha_0$。

1.3.2 边覆盖集

• 设无向简单图 $G = \lt V,E \gt$ 没有孤立点，$E^* \subseteq E$，若$\forall v \in V, \exists e \in E^*$ 使得 $v$与 $e$ 相关联，则称$E^*$为边覆盖集，简称为边覆盖，并称 $e$覆盖 $v$ 。
• 设$E^*$为边覆盖，若 $E^*$的任何真子集都不是边覆盖集，则称$E^*$为极小边覆盖集。
• G 的边数最少的边覆盖称为 G 的最小边覆盖。
• 最小边覆盖中的边数称作 G 的边覆盖数，记作\alpha_1(G)，简记为 \alpha_1​ 。

2. 性质

• 无向简单图的极大点独立集都是极小支配集。
• 设无向简单图 G = \lt V,E \gt, V^* \subseteq V ，则V^*为 G 的点覆盖集当且仅当 \overline{V^*} = V - V^* 为 G 的点独立集。

推论

\begin{array}{c} \alpha_0 + \beta_0 = |V| \end{array}

• 设 n阶图 G中无孤立点：

1. 设 M 为 G 的一个最大匹配，对 G 中每个非饱和点均取一条与其关联的边，组成边集 N，则 W = M \cup N 为 G的最小边覆盖。
2. 设 W_1​ 为 G 的一个最小边覆盖，若W_1​ 中存在相邻的边就移去其中的一条，设移去的边集为 N_1，则 M_1 = W_1 - N_1 ​ 为 G 的最大匹配。
3. G 的边覆盖数\alpha_1与匹配数 \beta_1满足：\alpha_1 + \beta_1 = n 。

推论 设图 G 无孤立点，M 是 G的一个匹配，W 是 G 的一个边覆盖，则 |M| \leq |W|，且当等号成立时，M 是 G 的完美匹配，W 是 G的最小边覆盖。

• 二部图 G = \lt V_1,V_2,E \gt 的完备匹配是最大匹配，但最大匹配不一定是完备匹配。当 |V_1| = |V_2| 时，完备匹配是完美匹配。
• (相异性条件)：设二部图 G = \lt V_1,V_2,E \gt 其中 |V_1| \leq |V_2| ，则 G 中存在 V_1到 V_2​ 的完备匹配当且仅当 V_1​ 中任意 k(k = 1,2,\cdots,|V_1|) 个顶点至少与 V_2 中的 k 个顶点相邻。
• (t 条件)：设二部图 G = \lt V_1,V_2,E \gt 如果存在正整数 t，使得 V_1 中每个顶点至少关联 t 条边，而 V_2 中每个顶点至多关联 t条边，则 G 中存在 V_1​ 到 V_2的完备匹配。