对称思维的妙用之从解题到本质（一）——巴格拉斯效果发生的概率

我们在日常生活中，到处都有关于对称的美的痕迹，无论是宏伟到泰姬陵的建筑，还是家里铺设的大理石瓷砖，这种性质总能给我们带来美感的视觉享受。但是，对称的数学定义又和其直观感觉有一些区别：对称数学上的定义是在某变换下的不变性；在物理等数学模型上通常就描述为某种规律或定律；而直观感受上，就是一个图案有好几个类似的成分而已，他们通过翻折，旋转等关系可以重合在一起。而在应用对称原理解一些数学题时，依然无从下手，找到对称背后的抓手。

那对称到底是何物？对我们理解和解决数学问题究竟有什么帮助？我们今天先通过一些例子，来看看这其中的本质。

巴格拉斯效果发生的概率

巴格拉斯效果是扑克牌魔术里里程碑式的效果，基本过程是观众随便说一张扑克牌的名字和一个1~54的数字，然后在不碰牌的情况下，数到那么多张后恰好就是那张牌。

今天不聊魔术，来聊聊这个看似不可能发生的事情，在什么都不做的情况下，到底有多大概率？

完全不经过数学推导的话，在大脑里可能会浮现两个发生概率只有1 / 50左右的事情，那也就是合在一起1 / 2500左右的事情。当然如果这么没有数学思维，估计也不会用概率乘法，直接以为是个奇迹了吧。

但这显然不是事实，于是我们把这个魔术的随机过程严谨描述出来看看：

对于给定的1:54的某随机排列C1:54以及给定的取自1:54均匀分布的编号n和值m，求p(C[n] = m)。

这里用均匀分布翻译观众的随机选择，其实就是高中所说的古典概型公理（连续变量叫几何概型），随机排列则代表魔术师听天由命，随意拿了一副牌上场就表演，这也是基于最大熵模型的公设前提下的分布结论。

显然，这里的排列都和选择是互相独立的随机事件（假设来的），其总事件数为（分步相乘原理）：A(54, 54) * 54 * 54，而条件所代表的事件总数为A(54, 54) * 54 * 1，即观众选到了特定的一个随机排列的特定位置的那张特定的牌，虽然我并不知道这张牌是什么。因此，p(C[n] = m) = (A(54, 54) * 54 * 1) / (A(54, 54) * 54 * 54) = 1 / 54。

这里的1其实是sum(m in 1:54)(I(C[n] = m))，而它成立的条件是排列的定义：到自身的双射，因此在1:54的范围里，有且仅有一组(n, m)满足条件。

当然很多同学会笑话我的解法很又傻又繁琐，傻是因为一些显然直观的1还居然写了个式子去算。但是我却笑你不知道，直观的感受能力和严谨的推导能力都是数学学习上不可或缺的，前者是用人脑感受和发现规律的灵感，后者是数学所秉承的范式和精神。另外，至少你能发现这里分子分母有很多项都是可以约分的，也就是说，这其中一定有很多无需计算的部分。这是因为不合理的建模方式，增加了计算量（要知道计算机可不会约分，都是按顺序先乘再除的），那怎么做才能改进呢？

比如，一个直观的化简就是，A(54, 54)这一项是可以不需要写的，因为无论排列为何，都不影响后面观众随机选择54张中的一张里，仅有1张是他选的特定位置上的那一张。所以，很多人的式子会这么写：

p(C[n] = m) = (54 * 1) / (54 * 54) = 1 / 54

看起来好了一点，但是其中一个隐含的条件仍然是扑克牌叠是一个完整的全排列，根据后面的计算内容，其任何一个随机排列结果都不会影响其表达式的值，因此只需要取代表来计算就可以了。

什么意思呢？举个例子，现在有两个排列1:54和54:1，无论是哪一个，面对54个可能的位置，sum(m in 1:54)(I(C[n] = m)) = 1依然全部成立，换句话说，这里概率的计算和随机排列的随机值是什么无关，因此可以直接略过不参与建模！

这就好比我在这里算巴格拉斯效果的概率，而隔壁老王是否出轨这件随机的事压根不需要引入到我的式子里来是一样的。这是很显然的不相关，但是这种看似机理上有关实则数学定义上严格无关的就只能靠严谨的论证了。

这种对某性质不影响的操作，我们称之为该性质的对称操作，比如这里选择哪一个随机排列就对后续是否完成巴格拉斯是没有影响的，无论是直观感受（当然你感受不了那你的数学直觉要加油）还是理论论证，或者可以反证之：如果有影响，面对随机的索引和扑克牌，怎么区分这种影响呢？当然我们无法穷尽所有的区分方式，只能在区分不了时这么假定。而一旦假定成立，连区分的能力都没有，那必然无影响了。

沿着这个思路，我们甚至可以直接写出计算式p(C[n] = m) = 1 / 54，因为不仅牌叠的随机排列没用，就连观众选的位置都没有用，因为任何位置上每张牌出现的概率都是1 / 54，这一点只需要牌叠和位置选择有一个是独立于另一个的均匀分布的即可（当然二者是复杂的一个联合分布也有可能），更何况两个分布独立且都是均匀分布呢。甚至这个朴素的认识可以直接从宏观的最大熵模型的角度来说，即在没有别的信息的情下，就应该是平均分布的；从对称的必要条件也可以用之前的思路不严谨地反证：如果有一张牌的概率比1 / 54大，你是怎么区分它的呢？

到此这个题目就解析完了，本身并不难，也只涉及了基本的均匀分布（古典概型），分类相加原理等基本的知识。答案也不重要，不过想给大家渗透的第一个对称思想即为：我们在对问题建模的过程中，要充分理解目标所需的建模粒度，把对结果无关过程剥离掉，剔除对求解无用的对称变量，让我们列出的计算式子是这个粒度问题的最本质和最清晰简明的表达。而这个过程并不是一蹴而就的，有时我们可以从不遗漏的角度去最精细化地建模所有细节，再根据问题慢慢剔除不必要的变量，来达成最后的结果。

这种思想其实无论在数学游戏，考试还是真实生活场景，科学研究中都随处可见，甚至还有先把问题复杂化再反过来用的，比如我们的组合数公式，C(m, n) = A(m, n) / A(n, n)，这里实际上是先去求的比较好算的排列数，再根据每A(n, n)个排列的集合对应一个组合的一一对应性反推组合的个数。因此我们需要根据问题的实际情况进行双向的尝试来解决。

这个问题其实还相对简单，也只是杀鸡用牛刀的方式向大家展示剔除对求解无用的对称变量这一对称思路的解题方法，下一讲，我们继续几个稍微复杂的问题，敬请期待。

我们是谁：

MatheMagician，中文“数学魔术师”，原指用数学设计魔术的魔术师和数学家。既取其用数学来变魔术的本义，也取像魔术一样玩数学的意思。文章内容涵盖互联网，计算机，统计，算法，NLP等前沿的数学及应用领域；也包括魔术思想，流程鉴赏等魔术内容；以及结合二者的数学魔术分享，还有一些思辨性的谈天说地的随笔。希望你能和我一起，既能感性思考又保持理性思维，享受人生乐趣。欢迎扫码关注和在文末或公众号留言与我交流！