第八讲 线性电路的过渡过程分析二

8.1 一阶电路的全响应分析

电路的全响应：处于非零初始状态的电路受到外加激励作用时，电路的响应（过渡过程）。

一阶电路：描述电路的微分方程是一阶微分方程

一、RC电路的全响应

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如图电路中，设 u_{c}(0_{-})=U_{0}

电压源电压为 U_{s}，且 U_{0}<U_{s} ，换路后电容两端电压 u_{c} 的方程是

这是一个一阶常系数线性非齐次微分方程，方程的解是

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初始条件

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可以得到 A=U_{0}-U_{s}

故电容两端电压的全响应为

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右边第一项是稳态分量，它等于外加激励即直流电压；第二项则是暂态分量，它随时间的增长而按指数规律逐渐衰减为零。

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全响应曲线

二、一阶电路全响应状态分析

1.全响应分解为稳态分量与暂态分量

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能较明显地反映电路的工作阶段，便于分析过渡过程的特点。

2.全响应分解为零输入响应和零状态响应

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能明显地反映响应与激励的因果关系，体现了线性电路的叠加性，而且便于分析计算。

三、三要素法

三要素法：是对前面一阶电路的求解方法及其响应形式进行归纳后得出的一种通用方法。

对于直流或正弦交流激励下的一阶电路，都可以用三要素法进行求解，即分别求初始值、稳态值和时间常数。

通过前面分析，我们可以看出，无论是是把全响应分解为稳态分量和暂态分量之和，还是分解为零输入响应和零状态响应之和，全响应是由初始值、特解和时间常数三个要素决定的。

在同一个一阶电路，电路中的各响应的时间常数都是相同的：对只有一个电容（或电感）元件的电路 �=�� �=��

R为换路后该电容（或电感）元件所接二端电阻性网络除源后的等效电阻。

当电路中只有一个储能元件时，一阶RL电路或一阶RC电路的时间常数中的R应该理解为从电感或电容两端看入的电路其余部分的等效电阻。

直流电源激励下的三要素法公式 全响应 = 稳态分量 + 暂态分量

设：电路响应为f(t)

稳态分量是f(\infty) ；初始值是 f(0_{+}) ；时间常数是\tau

则：一阶电路全响应为

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一阶电路三要素法公式

换路定律：运用三要素法求取一阶电路中某一个元件电压或电流的全响应时，首先要求 �(0+)

方法是要画出 t=0_{-} 和 t=0_{+} 两个时刻的等效电路，这两个等效电路的联系是

在这两个时刻，电容的电压不能突变、电感的电流不能突变。

与KCL、KVL不一样，换路定律的成立是有条件的，即电感电压或电容电流为有限值。从电路图直观地看，如果电路中没有冲激激励，或者换路后电路中没有纯电容、电压源构成的回路或纯电感、电流源构成的割集，则电容电压和电感电流不会发生跳变。

正弦电源激励下的三要素法公式

正弦激励时全响应仍是稳态分量与暂态分量之和，但此时

稳态分量：f_{\infty}(t)，是同频率的正弦量

暂态分量：Ae^{-\frac{t}{\tau}}

所以：一阶电路全响应为

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代入初始值f(0_{+})，可以求出

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从而得全响应为

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8.2 一阶电路的阶跃响应

一、阶跃函数

1.单位阶跃函数：是一种奇异函数，其数学定义和波形如下

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2.阶跃函数

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3.延迟阶跃函数

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单位阶跃函数可以用来“起始”任意一个函数

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单位阶跃函数可以用来表示阶梯波形

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阶跃函数在电路中的作用

阶跃函数的“起始”性在电路中表现为具有开关特性，故又称为开关函数。

例如，电路在 t=0 时接通到一个电压为1V的直流电压源，则此换路动作可用阶跃函数表示为 \varepsilon(t)V。

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二、一阶电路的阶跃响应

（单位）阶跃响应：电路对（单位）阶跃激励的零状态响应。

把直流激励下电路的零状态响应中的激励量改为阶跃量，其响应就成为阶跃响应。

例：RC串联电路在阶跃电压U_{s}\varepsilon(t)V激励下，电路的零状态响应为

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电路的零状态响应为两个阶跃响应的叠加，即

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8.3 RLC串联电路的零输入响应

二阶电路：可以用二阶微分方程描述的电路。

在二阶电路中，给定的初始条件应该有两个，它们由储能元件的初始值决定。RLC串联电路是一种典型的二阶电路。

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一、二阶电路微分方程及其特征根

设各元件电压与电流的参考方向如图所示，换路后由KVL得

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其中

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代入方程中，得

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这是一个二阶常系数线性 齐次常微分方程

其特征方程为

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两个特征根为

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①两个特征根仅与电路参数和结构有关，与激励无关。

②特征根的不同情况，响应的形式也随着不同。

零输入响应为

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方程中 和A_{1}和A_{2}由初始条件确定

这里只分析电路的一种初始条件情况，即

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特征根的三种情况，对应三种不同的过渡过程

1. R>2\sqrt{\frac{L}{C}} 电路处于非振荡放电过程

2. R<2\sqrt{\frac{L}{C}} 电路处于振荡放电过程

3. R=2\sqrt{\frac{L}{C}} 电路处于临界非振荡放电过程

二 、非振荡放电过程

特征根为两个不相等的负实根，且

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电路响应为

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响应过程：电容电压和电流始终不改变方向，表明电容在整个过渡过程中恒处于放电状态，其电压单调地下降到零。

电流的初始值为零，稳态值也为零，放电过程中电流必然要经历一次最大值。电流达最大值的时间发生在电感电压为零的时刻。

电感电压的初始值为U0，稳态值为零，在电流达到最大值时，电感电压为0。所以电感电压必有一个负的最大值，发生在2tm处。

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电流达到最大值的时间

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二阶电路能量转换过程分析：在整个过渡过程中，电容一直释放电场能。t<t_{m} 以前，电流增加，电容释放的能量除一部分被电阻消耗外，另有一部分转变为电感的磁场能量。 t=t_{m}时电感储能达到最大，电感电压为零。 t>t_{m} 以后，电流减小，电感释放其存储的磁场能量，电容仍继续放电，直到电场储能和磁场储能全部被电阻所耗尽，放电过程结束。

在过渡过程中，电感的能量没有回馈给电容，不存在电场与磁场之间能量往返授受，即不能形成振荡。因此称为非振荡放电。

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三、振荡放电过程

电路方程的特征根为一对共轭复根

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方程的通解为：

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下面我们代入初始条件

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最后可以得到

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所以，电路响应为：

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三个重要电路参数：只与电路参数有关，与外加激励没有关系

衰减系数δ：δ越大，衰减越快。

自由振荡角频率ω ：是一个与电路参数有关与激励无关的量，表明衰减振荡快慢。

谐振角频率ω0：是RLC串联电路在正弦激励下的谐振角频率。

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电容电压 u_{c} 和电流i都是幅值按指数规律衰减的正弦函数，这种放电过程称为振荡放电。在整个过渡过程中，电压、电流将周期性地改变方向，储能元件也将周期性地交换能量。

能量转换、吸收

振荡放电过程分析：

1.在0＜t＜t1 期间，uC 减小，电流i 增大，电容释放的能量一部分被电阻消耗，一部分转换为磁场能量存储于电感中；

2. 在 t1＜t＜t2 期间， uC及i及都在减小，电容和电感都释放其储能。此时间内的情况与非振荡放电过程相似。在 t = t2 时， uC为零，i 的量值不为零，此瞬间，电容储能已完全释放，但电感储能尚未放尽；

3.在 t2＜t＜t3 期间， uC反向增大，i减小，电感释放能量，一部分被电阻所消耗外，另一部分给电容反向充电。到 t = t3 时，i =0，充电结束，磁场能量已放尽 。

在下一个周期，电容又开始反方向放电，其过程与上述一致，只是因能量已在电阻中消耗了一部分，总能量较前半周期为小，所以再次放电时，电容的初始电压要小于U0 。电容如此往复充电和放电，就形成了振荡放电的物理过程。

这种过程理论上将无限期地进行下去，不过到一定时间以后能量已基本耗尽，工程上可以认为电路中各电压、电流已衰减到零，电路中的过渡过程也就算结束了。

等幅振荡：一种特殊情况R=0 电路参数

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电路的响应：

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等幅振荡放电过程：因为没有电阻，初始储能不被消耗，电压、电流的振幅不衰减。等幅振荡放电的产生，其实质是由于电容的电场储能在放电时转换成电感中的磁场储能，而当电流减小时，电感中的磁场储能又反过来向电容充电而转换为电容中的电场储能，如此反复而无能量损耗，因而，在电路中就形成了等幅振荡。

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四、临界放电状态

特征根为两个相等的负实根， R=2\sqrt{\frac{L}{C}}

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代入初始条件

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电路响应为：

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响应过程：电容电压从U0开始保持正值逐渐衰减到零。电流先从零开始，保持正值，最后等于零。电流达最大值的时间发生在电感电压等于零处。放电为非振荡的。

电流达到最大值的时间：

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总结：

1.我们可以看到，对于二阶电路来说，它的自由响应有三种形式，即过阻尼、临界阻尼和欠阻尼； 如果电路中完全没有电阻，还会有无阻尼的情况。从响应曲线上看，前两种情况下响应没有振荡，而欠阻尼响应是有振荡的。从物理角度看，阻尼状态取决于电路结构和元件参数； 从数学角度看，则取决于描述电路的二阶微分方程的特征方程的特征根。

2.无论是一阶电路还是二阶电路，电路的全响应既可以分解为自由响应和强制响应，也可以分解为零输入响应和零状态响应。直流或正弦交流激励下电路的强制响应就是电路到达新的稳态时的稳态响应，零输入响应与初始状态成正比，零状态响应与外加激励成正比，而全响应与外加激励和初始状态都没有比例关系。零状态响应对于求解任意激励作用下电路的响应非常重要，是卷积积分的基础。

3.在冲激激励作用下，电感电流或电容电压有可能会出现跳变，求冲激激励作用下电路的响应最关键是求冲激激励作用瞬间电容电压或电感电流的变化，在此时刻之后电路的响应就变成了零输入响应。完整的冲激响应应该包括冲激激励作用瞬间的跳变和之后的零输入响应，可以借助单位阶跃函数及其延迟来表示电容电压或电感电流的跳变。

假设冲激激励在t=0时刻作用，求电感电流或电容电压的跳变有两种方法：

（1） 以 u_{C} 或 i_{L} 为变量列写方程，然后将方程两边从0-到0+积分，从而得到u_{C}(0+)或 i_{L}(0+) ，求导可以得出电容电流或电感电压，其中会含有冲激项；

（2） 将t=0时刻电路中的电容短路、电感开路，求出电容电流、电感电压，其中一般会含有冲激项，然后利用积分形式的元件特性得到u_{C}(0+)或 i_{L}(0+)。在电路中含有多个储能元件时，第2种方法更简便。

电路的单位冲激响应还可以从电路的单位阶跃响应求导得到，此时要注意单位阶跃响应应该用单位阶跃函数及其延迟表示成全时间域的形式。

4.任意激励作用下电路的零状态响应等于电路的单位冲激响应与该激励的卷积。可以用图解法理解卷积的4个步骤，即翻转、平移、相乘、积分，并用图解法确定区间函数进行卷积时的积分上下限。