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R语言GARCH族模型：正态分布、t、GED分布EGARCH、TGARCH的VaR分析股票指数

拓端

发布于 2024-12-19 12:42:58

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VaR方法作为当前业内比较流行的测量金融风险的方法,具有简洁,明了的特点,而且相对于方差来讲,更多的将投资人的损失作为风险具有更好的合理性。

我们和一位客户讨论如何在R软件中处理GARCH族模型。

数据的选取

本文选取Wind资讯发布的股票型券商理财指数作为数据处理对象。选取的时间期间为2011年1月4日至2015年11月24日，共1187个交易日。该指数基日为2007年12月31日，基点为1000点。

收益率的计算

采用对数收益率对指数收盘点位进行计算，表达式为

记为序列。由图观察可知，该收益率序列存在波动聚集现象。

clpr<-stock$Clsprc
yield<-diff(log(clpr))
ts.plot(yield)

基本特征分析

对序列进行基本统计分析，结果如表所示：


summary(yield)
sd(yield)
var(yield)

表指数日收益率基本统计表****

Min.	1st Qu.	Median	Mean	3rd Qu.	Max.	Sd	skewness'	kurtosis
-0.03517	-0.00389	0.0003749	0.0001963	0.00473	0.03348	0.008163353	-0.4018462	2.169439

由表可知，收益率序列的最小值为-0.03517，最大值为0.03348，平均值为0.0001963，标准差为0.008163353。偏度为-0.4018462，表现为右偏。峰度为2.169439，该分布比正态分布更陡峭。

1、正态性检验

对指数的日收益率序列进行正态性检验。检验方法采用Jarque-Bera统计量。检验结果显示Jarque-Bera统计量为261.3839，P值接近0，拒绝对数收益率服从正态分布的原假设，表明序列为非正态分布。

表 Jarque-Bera检验结果

检验方法	统计量	P值
Jarque-Bera	261.3839	< 2.2e-16

为了进一步探究序列的分布形态，对样本数据作直方图、QQ图。由图可见，该收益率序列的尾部更长更厚，且其分布存在明显的不对称的现象，为非正态分布。

2、自相关性检验

对指数的日收益率序列的自相关性进行检验。检验方法采用Ljung-Box检验。表中LB2(12)指滞后期为12的收益率平方的Ljung-Box统计量，该统计量在无序列相关的零假设下，服从自由度为12的分布。具体检验结果如下：收益率平方的Ljung-Box统计量为34.1853，P值为0.0006306，拒绝无自相关的零假设，表明收益率的平方存在自相关现象。

表 Ljung-Box检验结果

检验方法	统计量	P值
LB2(12)	34.1853	0.0006306

为了进一步探究序列的自相关性，对序列作ACF、PACF图。由图可见，该收益率序列存在自相关现象。

3、异方差性检验

对指数的日收益率序列进行异方差性检验。检验方法采用ARCH-LM检验。表中LM(12)指ARCH效应的拉格朗日乘数检验，在没有ARCH效应的零假设下，统计量服从自由度为12的分布。具体检验结果如下：LM统计量为170.9818，P值接近0，故拒绝无ARCH效应的零假设，表明收益率序列存在ARCH效应。

表 ARCH-LM检验结果

检验方法	统计量	P值
LM(12)	170.9818	< 2.2e-16

4、平稳性检验

在时间序列模型中，序列的平稳性会直接影响到模型的拟合效果，非平稳的序列容易产生谬误回归（Spurious Regression）。本节将采用 ADF 检验来对收益率序列进行单位根检验。检验结果显示Dickey –Fuller值为-9.7732（滞后10阶），P值小于0.01，故拒绝存在单位根的原假设，认为该收益率序列是平稳的。

表 ADF检验结果

检验方法	统计量	P值
ADF	-9.7732	<0.01

综上，收益率序列存在明显的尖峰厚尾效应，JB检验同样否认了收益率服从正态分布的假设。LM检验表明收益率存在ARCH效应，而LB检验表明收益率的平方存在自相关现象，因此可以采用条件异方差模型来分析收益率序列的波动特性

GARCH族模型的建立

本文将分别采用基于正态分布、t分布、广义误差分布(GED)、偏态t分布(ST)、偏态广义误差分布(SGED) 的GARCH(1,1)、EGARCH、TGARCH来建模。

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表中，c为收益率的均值，为方差方程的常数项，为方差方程的ARCH项系数，为GARCH项系数，反映杠杆效应的大小。参数为概率分布中的参数，其中控制尖峰高度和尾部厚度，控制偏斜度。

GARCH(1,1)模型

GARCH(1,1)模型表示如下：


spec<-ugarchspec(variance.model=list(garchOrder=c(1,1)),
       mean.model=list(armaOrder=c(0,0)))
fit <- ugarchfit(spec = spec, data = yield)

ariance.model=list(garchOrder=c(1,1)),
       mean.model=list(armaOrder=c(0,0)),distribution.model = "std")

表收益率指数 GARCH 模型估计结果*

	正态分布	t分布	GED	偏t分布	SGED
c	0.000264( 0.21277)	0.000342 ( 0.077829)	0.000342 (0.040020)	0.000299(0.161218)	0.000230 (0.587094)
	0.000001 ( 0.14473)	0.000001 ( 0.257057)	0.000001(0.441759)	0.000001(0.259532)	0.000001(0.456113)
	0.048706( 0.00000) ***	0.054123 ( 0.000001) ***	0.050726 (0.002247) ***	0.053698(0.000001) ***	0.050853(0.00353) ***
**	0.927184( 0.00000) ***	0.933160(0.00000) ***	0.931267(0.000000) ***	0.933230(0.000000) ***	0.930511 (0.000000) ***
				0.981867(0.000000) ***	0.939087(0.000000) ***
		5.219963(0.00000) ***	1.201313(0.00000) ***	5.243745(0.000000) ***	1.202264 (0.000000) ***
LOG(L)	4098.099	4133.571	4138.72	4133.688	4139.112
LB2(1)	0.0005385	0.03154	0.01327	0.02633	0.01035
LB2(5)	0.7282074	1.00717	0.88424	0.97089	0.83074
LB2(9)	1.2003692	1.63025	1.43485	1.58488	1.36785

注：括号中是P值。***表示0.1%置信水平下统计显著；**表示在 1%置信水平下统计显著；*表示5%水平下统计显著。

对GARCH(1,1)模型来说,无论收益率残差服从哪种分布,其方差方程中ARCH项和GARCH项系数均高度显著，然而均值方程和方差方程中的的常数项均不显著。

EGARCH(1,1)模型

EGARCH是从GARCH衍生出的模型，可用于解释“杠杆效应”。“杠杆效应”是指金融资产收益率的涨和跌对未来波动性的影响是不同的。

chspec(variance.model=list(model="eGARCH", garchOrder=c(1,1)),
       mean.model=list(armaOrder=c(0,0)))

收益率指数 EGARCH 模型估计结果

	正态分布	t分布	GED	偏t分布	SGED
c	0.000271(0.075278)	0.000336( 0.079723)	0.000340( 0.016498)	0.000271(0.12507)	0.000199 ( 0.14978)
	-0.206804(0.000000) ***	-0.157944(0.000000) ***	-0.184483(0.000000) ***	-0.160675(0.000000) ***	-0.190357(0.00000) ***
	0.001715(0.862698)	-0.013118 ( 0.388489)	-0.007304( 0.603938)	-0.012933(0.393570)	-0.007622 (0.41512)
**	0.978191(0.000000) ***	0.983721(0.000000) ***	0.981159(0.000000) ***	0.983429(0.000000) ***	0.980540(0.00000) ***
	0.107504( 0.001149)***	0.128684(0.000000) ***	0.118786(0.001145)**	0.128607(0.000001)***	0.119496(0.00000) ***
				0.978059(0.000000) ***	0.970479(0.00000) ***
		4.999931(0.000000) ***	1.185703(0.000000) ***	5.025099(0.000000) ***	1.186277(0.00000) ***
LOG(L)	4092.934	4131.264	4136.163	4131.438	4136.691
LB2(1)	0.1871	0.00369	0.03273	0.004377	0.03288
LB2(5)	0.8244	0.93644	0.83619	0.898516	0.76626
LB2(9)	1.4308	1.55934	1.41608	1.511597	1.32613

注：括号中是P值。***表示0.1%置信水平下统计显著；**表示在 1%置信水平下统计显著；*表示5%水平下统计显著。

对EGARCH(1,1)模型来说,无论收益率残差服从哪种分布,其方差方程中常数项和GARCH项系数均高度显著，然而均值方程和方差方程中的的ARCH项系数均不显著。

GJR-GARCH模型

GJR-GARCH模型即是在GARCH模型的基础上考虑到杠杆效应，引入一个虚拟变量来表示正负冲击对的影响。

ariance.model=list(model="gjrGARCH", garchOrder=c(1,1)),
	mean.model=list(armaOrder=c(0,0)),distribution.model = "std")

收益率指数 GJR- GARCH 模型估计结果

	正态分布	t分布	GED	偏t分布	SGED
c	0.000275( 0.198829)	0.000335 ( 0.084013)	0.000338( 0.040523)*	0.000292(0.17233)	0.000221 (0.540614)
	0.000001( 0.171795)	0.000001 (0.298628)	0.000001(0.000000) ***	0.000001( 0.30375)	0.000001(0.590270)
	0.051272( 0.000072)***	0.051272 (0.000072)***	0.046304(0.012649) *	0.045985(0.00000)***	0.046440 (0.007732)**
**	0.928798(0.000000) ***	0.928798(0.000000) ***	0.927762 (0.000000) ***	0.929132(0.00000) ***	0.928254 (0.000000) ***
	-0.005443( 0.702778)	-0.005443(0.702778)	0.010575(0.493464)	0.018174(0.32446)	0.010036(0.542627)
				0.983235(0.00000) ***	0.975509(0.000000) ***
		4.999931(0.000000) ***	1.197353(0.000000) ***	5.148342(0.00000) ***	1.199348 (0.000000) ***
LOG(L)	4098.144	4133.955	4138.849	4134.063	4139.244
LB2(1)	0.00032	0.06294	0.03472	0.05974	0.02502
LB2(5)	0.68873	1.14346	0.98759	1.11792	0.91801
LB2(9)	1.15402	1.81742	1.56472	1.78469	1.48424

注：括号中是P值。***表示0.1%置信水平下统计显著；**表示在 1%置信水平下统计显著；*表示5%水平下统计显著。

对GJR-GARCH(1,1)模型来说, 无论收益率残差服从哪种分布,其杠杆系数都是不显著的。但是就其他参数而言，GED分布下，参数拟合都是显著的。方差方程中ARCH项和GARCH项系数均高度显著，然而均值方程和方差方程中的的常数项均不显著。通过对比对数似然函数值，发现残差服从GED分布和SGED分布时，模型拟合效果要优于正态分布、t分布和偏t分布。另外,五种分布条件下，均接近1，这说明尽管收益率的波动会逐步衰减,但是持续的时间将会非常长。最后，LB2统计量显示模型的标准化残差平方均不再具有异方差现象，且在统计上都是显著的。

APARCH模型

APARCH(1,1)模型波动性方程为：

variance.model=list(model="apARCH", garchOrder=c(1,1)),

收益率指数 APARCH 模型估计结果

	正态分布	t分布	GED	偏t分布	SGED
c	0.000301( 0.15463)	0.000349 (0.071965)	0.000349( 0.049846)*	0.000338 (0.108480)	0.000239 (0.379013)
	0.000000(0.92767)	0.000000(0.979064)	0.000000(0.972073)	0.000000(0.984476)	0.000000(0.992160)
	0.036457(0.00021)***	0.036235(0.061548)	0.036665(0.123664)	0.038866(0.179902)	0.036743 (0.540439)
**	0.914738(0.00000) ***	0.920788(0.000000) ***	0.917647(0.000000) ***	0.920930(0.000000) ***	0.919184 (0.000000) ***
	0.001559( 0.98256)	0.076905(0.416691)	0.048123(0.624721)	0.063356(0.277636)	0.019934 (0.835479)
	2.770787(0.00000) ***	2.835321(0.000000) ***	2.732345(0.000000) ***	2.774741(0.000000) ***	2.794404(0.000000) ***
				0.991283 (0.000000) ***	0.970652(0.000000) ***
		5.534190(0.000017) ***	1.207995(0.000000) ***	5.400260 (0.000001) ***	1.213429(0.000687) ***
LOG(L)	4100.315	4134.174	4139.32	4134.308	4139.746
LB2(1)	0.07729	0.1613	0.1208	0.1772	0.09563
LB2(5)	0.94386	1.2998	1.1247	1.3636	1.05785
LB2(9)	1.45195	2.0242	1.7278	2.1042	1.64646

注：括号中是P值。***表示0.1%置信水平下统计显著；**表示在 1%置信水平下统计显著；*表示5%水平下统计显著。

对APARCH (1,1)模型来说, 除了方差方程和显著外，其他系数基本不显著。通过对比对数似然函数值，发现残差服从GED分布和SGED分布时，模型拟合效果要优于正态分布、t分布和偏t分布。LB2统计量显示模型的标准化残差平方均不再具有异方差现象，且在统计上都是显著的。

计算VaR

plotMSFT.garch11.fitwhich=2

序列预测

plotMSFT.garch11.boot

GARCH11滚动预测

MSFT.garch11.roll =spec y  
  
  
classMSFT.garch11.roll

## [1] "uGARCHroll"  
## attr"package"  
## [1] "rugarch"

## VaR Backtest Report  
## ===========================================  
## Model:               eGARCH-norm  
## Backtest Length: 1000  
## Data:                 
##  
## ==========================================  
## alpha:               1%  
## Expected Exceed: 10  
## Actual VaR Exceed:   50  
## Actual %:            5%  
##  
## Unconditional Coverage Kupiec  
## Null-Hypothesis: Correct Exceedances  
## LR.uc Statistic: 82.582  
## LR.uc Critical:      3.841  
## LR.uc p-value:       0  
## Reject Null:     YES  
##  
## Conditional Coverage Christoffersen  
## Null-Hypothesis: Correct Exceedances and  
##                  Independence of Failures  
## LR.cc Statistic: 118.726  
## LR.cc Critical:      5.991  
## LR.cc p-value:       0  
## Reject Null:     YES