基本概念

1. 术语

• 方阵：行数和列数相同的矩阵。
• 长方矩阵：函数和列数可能不相同的矩阵。
• M_{m,n}：表示 m 行 n 列复矩阵的集合。
• M_n：表示 n 阶复方阵的集合。
• \mathbb{C}^n：表示具有 n 个复数分量的列向量的集合。
• \mathbb{R}^n：表示具有 n 个实数分量的列向量的集合。
• \mathrm{diag}(d_1,\cdots,d_n)：表示对角元素为d_1,\cdots,d_n的对角矩阵。

设 A = (a_{ij}) \in M_{m,n} ，a_{ij} 是矩阵 A的元素，则：

• A^T：表示 A 的转置。
• ‾\overline{A}：表示 A 的共轭。
• A^*：表示 A 的共轭转置，即 A^* = (\overline{A})^T 。

2. 矩阵

2.1 定义

设 A \in M_n ​：

• 若 A^* A = A A^* ，则称 A 为正规矩阵。
• 若 A = A^* ，则称 A 为 Hermite 矩阵；若 A = -A^*，则称 A 为反 Hermite 矩阵。
• 若 A^* A = I ，则称 A 为酋矩阵。

2.2 性质

• Hermite 矩阵，反 Hermite 矩阵，酋矩阵都是正规矩阵。
• 实 Hermite 矩阵就是实对称矩阵，实酋矩阵就是实正交矩阵。

3. 谱

一个方阵的全体特征值的集合称为该方阵的谱。