基本概念

1. 术语

• 方阵：行数和列数相同的矩阵。
• 长方矩阵：函数和列数可能不相同的矩阵。
• $M_{m,n}$：表示 $m$ 行 $n$列复矩阵的集合。
• $M_n：$表示 $n$阶复方阵的集合。
• $\mathbb{C}^n$：表示具有 $n$个复数分量的列向量的集合。
• $\mathbb{R}^n$：表示具有 $n$个实数分量的列向量的集合。
• $\mathrm{diag}(d_1,\cdots,d_n)$：表示对角元素为$d_1,\cdots,d_n$的对角矩阵。

设 $A = (a_{ij}) \in M_{m,n}$，$a_{ij}$ 是矩阵 $A$的元素，则：

• $A^T$：表示$A$的转置。
• $‾\overline{A}$：表示 $A$ 的共轭。
• $A^*$：表示 $A$的共轭转置，即$A^* = (\overline{A})^T$ 。

2. 矩阵

2.1 定义

设 $A \in M_n$​：

• 若 $A^* A = A A^*$ ，则称 $A$ 为正规矩阵。
• 若 $A = A^*$ ，则称 $A$ 为 Hermite 矩阵；若$A = -A^*$，则称 $A$为反 Hermite 矩阵。
• 若 $A^* A = I$ ，则称 $A$为酋矩阵。

2.2 性质

• Hermite 矩阵，反 Hermite 矩阵，酋矩阵都是正规矩阵。
• 实 Hermite 矩阵就是实对称矩阵，实酋矩阵就是实正交矩阵。

3. 谱

一个方阵的全体特征值的集合称为该方阵的谱。