正负定矩阵

1. 正定矩阵

1.1 定义

• 在实数域下，一个 n \times n 的实对称矩阵 M 是正定的，当且仅当对于所有的非零实系数向量 z 都有 z^T M z \gt 0 。
• 在复数域下，一个 n \times n 的埃尔米特矩阵 M 是正定的当且仅当对于每个非零的复向量 z 都有 z^* M z \gt 0 。

1.2 性质

对于n \times n 的埃尔米特矩阵 M ，下列性质与「M 是正定矩阵」等价：

• 矩阵 M 的所有特征值 \lambda_i 都是正的。由于 M 必然与一个实对角 D 相似，即 M = P^{-1}DP ，则 M 是正定矩阵当且仅当 D 的对角线上的元素都是正的。M 的所有顺序主子式都是正的。
• 存在唯一的下三角矩阵 L ，其主对角线上的元素全是正的，使得：M = L L^* 。其中，L^* 是 L 的共轭转置。这个分解称为科列斯基（Cholesky）分解。

对于实称阵，只需将上述性质中的 \mathbb{C}^n 改成 \mathbb{R}^n ，将「共轭转置」改为「转置」即可。

2. 半正定矩阵

• 在实数域下，一个 n \times n 的实对称矩阵 M 是正定的，当且仅当对于所有的非零实系数向量 z 都有 z^T M z \geq 0
• 在复数域下，一个 n \times n 的埃尔米特矩阵 M 是正定的当且仅当对于每个非零的复向量 z 都有 z^* M z \geq 0 。

1.2 性质

对于 n \times n 的埃尔米特矩阵 M ，下列性质与「M 正定矩阵」等价：

• 矩阵 M 的所有特征值 \lambda_i 都是非负的。由于 M 必然与一个实对角 D 相似，即 M = P^{-1}DP ，则 M 是正定矩阵当且仅当 D 的对角线上的元素都是非负的。M 的所有顺序主子式都是非负的。
• 存在下三角矩阵 L ，其主对角线上的元素全是非负的，使得：M = L L^* 。其中，L^* 是 L 的共轭转置。这个分解称为科列斯基（Cholesky）分解。（分解不一定是唯一的）

对于实称阵，只需将上述性质中的 \mathbb{C}^n 改成 \mathbb{R}^n ，将「共轭转置」改为「转置」即可。

【注】负定矩阵和半负定矩阵的定义和性质类似正定矩阵和半正定矩阵。