LeetCode 43，一题学会高精度算法

今天和大家讨论的算法是高精度，对应的LeetCode是第43题。题面其实没什么好说的，以字符串的形式给定两个数字，要求返回这两个数字的乘积。之所以是以字符串的形式给数字是因为这个数字可能会非常大，题目当中给定的范围是110位的数字。对于Python来说这不是问题，但是对于C++和Java等语言来说这么大的数字是无法以int类型存储的，所以必须要使用字符串来接收。

如果你使用Python，你可以不用任何算法就AC这题，但是这没有任何意义。那么正确的方法应该怎么做呢？

高精度与打竖式

这就需要我们的高精度算法出场了，其实严格说起来高精度并不是一种算法，而是一种思想。这个思想非常朴素，我敢保证我们每一个人都学过。还记得小学的时候，我们计算多位数的乘法是怎么算的吗？大家应该都不陌生才对，就是打竖式，like this：

我们人类要打竖式是因为我们只能计算一位数以内的加减乘除，超过一位的人脑不能直接计算，我们就需要用纸笔记录下来进行计算。

纸笔计算的方法很简单，就是一位一位地计算，用每一位数字依次去计算乘法，最后再移位相加起来就得到结果了。

比如在上图的第一个例子当中，我们要计算15 * 16，我们先计算6 * 15的结果，再计算1 * 15，最后将两个结果错位相加，就得到了答案。我们要错位的原因也很简单，因为我们在计算15 * 1的时候，其实背后代表的是15 * 10。我们继续拆分问题，当我们计算6和15相乘的时候，又是怎么计算的呢？顺着这个思路，整个过程可以进一步被划分成先计算6和5相乘，再计算6和1相乘。

最后，我们把两个较大数字的相乘拆分成了在每一位上的数字相乘。到了这里，剩下的就简单了，也就是说我们可以把这两个很大的数字用两个数组来存储，数组当中的每一位存储数字上的一位。

比如我们要计算123 * 224， 我们的第一个数组是[1, 2, 3]，我们的第二个数组是[2, 2, 4]。我们仿照乘法竖式中的方法计算这两个数组当中两两的乘积，并将它们拼装成答案。

            1 2 3
   *  2 2 4
  ____________
      4 9 2
    2 4 6
  2 4 6
  ____________
  2 7 5 5 2

同样我们用数组来存储中间和最后的结果，最后的结果就是：[2, 7, 5, 5, 2]。由于题目需要我们要返回的是字符串，所以我们还需要将数组里的内容再拼接成字符串。

这种用数组来模拟数字进行加减乘除运算的方法就叫做高精度算法，相信大家也都看到了，严格说起来这并不是一个算法，而只是一种思想。今天的题目出的是乘法，我们利用同样的方法也可以计算加减和除法。其中加减法非常简单，而除法则要复杂得多，也是高精度当中最难实现的部分。这里我们不做过多的拓展，计算的方法同样是打竖式，感兴趣的同学可以自行实现。

进位和前导零

当我们理清楚了打竖式的方法之后，我们还要面临进位和前导零的问题。

进位应该很容易理解，我们需要在计算乘法的时候判断当前位置的元素是否大于等于10，如果超过10的话，我们则需要进行进位。我们只需要将它除以10，得到的结果就是我们需要进位的值。除此之外就是前导零的问题，我们都知道除了零以外的合法数字是不允许首位出现0的，但是由于我们计算的是乘法，所以当其中某一个数为0会得到整体的结果为0，但是表示在数组当中则是多个0.

举个简单的例子，比如123 * 0，最后得到的应该是0，但是由于我们用数组表示了乘法运算当中的每一位，并且还进行了加法计算，所以会导致出现000的结果。这种情况我们要做特殊的处理，不过这也不复杂。最后我们把上面所有的思路都整理一下，就可以得到结果了。

我们来看下代码：

class Solution:
    
    def multiply(self, num1: str, num2: str) -> str:
        # 将字符串转化成数组
        # 翻转数组，因为我们用第0位表示个位
        arr1 = [ord(i) - ord('0') for i in num1][:: -1]
        arr2 = [ord(i) - ord('0') for i in num2][:: -1]
        
        # 创建结果数组，可以证明结果的长度最多是n + m
        n, m = len(arr1), len(arr2)
        ret = [0 for i in range(n + m + 1)]
        
        for i in range(n):
            for j in range(m):
                # 按位相乘，计算进位
                ret[i + j] += arr1[i] * arr2[j]
                if ret[i+j] >= 10:
                    ret[i+j+1] += ret[i+j] // 10
                    ret[i+j] %= 10
                    
        # 最后把数组再转化成字符串返回
        # 去除前导零
        result = ''.join(map(str, ret))[::-1].lstrip('0')
        return result if len(result) > 0 else '0'

今天的题只是Medium难度，并不算困难，会选这题的原因主要是为了高精度算法。高精度算法本身并不难，也并不常用即使是在算法比赛当中也不常见。但是它给了我们一个思路，当我们要计算的数值超过计算机目前承载能力的时候，我们还有什么方法？

当然这题我们也可以取巧，因为Python当中内置了大整数，当它检测到我们的计算结果超过范围的时候，会自动转化成大整数来进行计算。所以这题如果我们使用Python，可以只用几行代码搞定：

class Solution:
    def multiply(self, num1: str, num2: str) -> str:
        num1 = int(num1)
        num2 = int(num2)
        return str(num1 * num2)