最简单的NP-Hard问题

前言

本文介绍了最简单的NP-hard问题——数字分区问题，以及该问题的一个伪多项式解法和两个近似解法。

数字分区问题

讨论这样一个问题：给定一个正整数的多重集合

，能否将

划分为两个子集

和

，使得

中元素的和与

中元素的和相等？在数论和计算机科学中，该问题被称为是数字分区问题，尽管NP完全，但是却存在动态规划的解法能够在伪多项式时间内求解，并且在许多情况下，存在最佳或者是近似的解决方法。因此，这个问题也被称为"最简单的NP-hard问题"。

比如给定多重集合

存在子集

和

，这两个子集划分了

。这个解并不是唯一的。

和

是另外一组解。

并不是所有的多重集合都能找到这个问题的解，比如

。

伪多项式时间算法

在多重集合元素的个数和多重集合元素的和值不是很大时，可以采用动态规划来解决。

假设问题的输入是具有

个正整数的多重集合

设

为

中元素的和值

。那么算法就是找出一个

的子集，其和为

。如果这样的子集存在，那么：

• 如果

是偶数，

中其余元素的和也是

• 如果

是奇数，

中其余元素的和是

，我们将会得到一个近似解。

重叠子问题

用

来表示在

中是否存在子集使得子集元素和为

，如果存在，

为

；如果不存在，

为

。

那么上面的问题就变成了判断

是否为

。为了帮助解决这个问题，我们引入下面的命题：

当且仅当

为

或者

为

时，

为

。

下面来证明这个命题

证明：

1. 当

为

时，

使得

成立，

，故

为

;

1. 当

为

时，

使得

成立，则必有

使得

成立，

，故

为

;

1. 当

为

且

为

时，

使得

成立且

使得

成立，此时明显

使得

成立（反证法可证）。

综上，当且仅当

为

或者

为

时，

为

实现代码

使用Python来简单实现上面的算法:

#!/usr/bin/env python
import numpy as np
def find_partition(s):
  n = len(s)
  k = sum(s)
  p = np.zeros((k / 2 + 1, n + 1), dtype=bool)
  p[0] = True

  for i in range(1, k/2+1):
     for j in range(1, n+1):
        p[i][j] = p[i][j-1]
        if i >= s[j-1]:
           p[i][j] = p[i][j] or p[i-s[j-1]][j-1]
  return p[k/2][n]

test_list = [3, 1, 1, 2, 2, 1]
print(find_partition(test_list))

程序的输出结果如下

True

下面的表格是程序中

的数据

复杂度分析

上面算法的时间复杂度为

，其中，

是输入多重集合元素的个数，

是多重集合中所有元素的和。

如果将问题变成将一个多重集合分为

个和相等的子集，算法的空间复杂度将为

，其中

是输入中最大的值。在这样的情况下，即使

也很难应用这样的算法，除非输入的都是一些小数字。

近似求解算法

有一些启发式算法可以用来求这个问题的近似解。

贪心算法

想象一下一群孩子分拨玩游戏的场景，商量好分成几拨后，每次选出一个人，加入到人少的那一拨中，贪心算法的过程类似。在这个问题中，多重集合按降序排列，依次遍历，每次选出一个数添加到和值较小的子多重集合中。这个算法的时间复杂度为

。该算法在实际中能够得到近似解，但是不保证能得到最优解。比如，输入多重集合

，贪心算法会将

分为

和

这两个子多重集合，但是最优解是存在的，比如

和

。

贪心算法能得到最优解法的

近似解；这个意思是说，设最优解中较大多重集合的和为

，贪心算法输出两个多重集合

和

，那么有

。

Python版本的代码如下：

def find_partition(input_list):
  a, b = [], []
  sum_a, sum_b = 0, 0
  for n in sorted(input_list, reverse=True):
     if sum_a < sum_b:
        a.append(n)
        sum_a += n
     else:
        b.append(n)
        sum_b += n
  return a, b


test_list = [3, 1, 1, 2, 2, 1]
print(find_partition(test_list))

程序结果输出如下

([2, 2, 1], [3, 1, 1])

在这个问题中，上面的解法针对的是

的情况，贪心算法还可用于

个分区的情况。对

的情况，算法的时间复杂度是

，能得到最优解法的

近似解。现在，对于数字多重集合划分问题，我们有一个多项式时间近似方案，尽管这不是一个完全多项式时间近似方案。

差分算法

另一种启发式算法是最大差分法，该算法也被称之为Karmarkar-Karp启发式算法。最大差分法分两个阶段运行。算法的第一阶段从输入中取出最大的两个数，用它们的差来替换它们；循环此过程直到只剩下一个数字。替换表示将这两个数字放在不同的集合中，但是不确定具体的集合。在第一阶段结束时，剩下的数字就是两个子集和值的差。第二个阶段构造出真正的解法。

在这个问题中，差分算法比贪心算法效果更好，但对于数字大小和集合大小呈指数关系的情况仍然不适用。

下面的Python代码实现了算法的第一阶段

from queue import PriorityQueue

def karmarkarKarpPartition(input_list):
  heap = PriorityQueue()
  for n in input_list:
     heap.put((-n, n))

  while heap.qsize() > 1:
     val1 = heap.get()[1]
     val2 = heap.get()[1]
     sub_ret = val1 - val2
     heap.put((-sub_ret, sub_ret))

  return heap.get()[1]


test_list = [3, 1, 1, 2, 2, 1]
print(karmarkarKarpPartition(test_list))

测试输出为

0