有限元 | 有限元法计算刚架的临界荷载

fem178

发布于 2024-05-20 15:34:21

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发布于 2024-05-20 15:34:21

文章被收录于专栏：数值分析与有限元编程

用有限单元法计算图1a所示刚架的临界荷载。相关公式见有限元 | 梁的弹性稳定分析(二)

▲图1

单元划分和结构标识

该刚架仅有

\text{BC}

杆受轴向压力作用,失稳时

\text{AC}

杆的变形曲线为精确的三次的抛物线。因此,仅将

\text{BC}

杆划分为长度相等的两个单元,结构标识如图1b所示。因忽略杆件的轴向变形,当用先处理法分析时仅需列出结点未知位移如下

\boldsymbol{\Delta} = (\theta_2 \quad v_3 \quad \theta_3)^T

组装弹性刚度矩阵和几何刚度矩阵

整体坐标系下，单元①的弹性刚度矩阵放入整体弹性刚度矩阵

\mathbf K = \frac {EI}{l^3} \begin{bmatrix} 4l^2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix}

单元②的弹性刚度矩阵放入整体弹性刚度矩阵

\mathbf K = \frac {EI}{l^3} \begin{bmatrix} 4l^2+8l^2 & -24l & 4l^2 \\ -24l & 96 & -24l \\ 4l^2 & -24l & 8l^2 \\ \end{bmatrix}

单元②的几何刚度矩阵放入整体几何刚度矩阵

\mathbf K_{\sigma} = \frac {F_P}{60l} \begin{bmatrix} 4l^2 & -6l & -l^2 \\ -6l & 144 & -6l \\ -l^2 & -6l & 4l^2 \\ \end{bmatrix}

单元③的弹性刚度矩阵放入整体弹性刚度矩阵

\mathbf K = \frac {EI}{l^3} \begin{bmatrix} 4l^2+8l^2 & -24l & 4l^2 \\ -24l & 96+96 & -24l+24l \\ 4l^2 & -24l+24l & 8l^2+ 8l^2 \\ \end{bmatrix}

单元③的几何刚度矩阵放入整体几何刚度矩阵

\mathbf K_{\sigma} = \frac {F_P}{60l} \begin{bmatrix} 4l^2 & -6l & -l^2 \\ -6l & 144+144 & -6l+6l \\ -l^2 & -6l+6l & 4l^2+4l^2 \\ \end{bmatrix}

由

det(\mathbf K - \mathbf K_{\sigma})=0

得

\begin{vmatrix} \frac {EI}{l^3} \begin{bmatrix} 12l^2 & -24l & 4l^2 \\ -24l & 192 & 0 \\ 4l^2 & 0 & 16l^2 \\ \end{bmatrix} - \frac {F_P}{60l} \begin{bmatrix} 4l^2 & -6l & -l^2 \\ -6l & 288 & 0 \\ -l^2 & 0 & 8l^2 \\ \end{bmatrix} \end{vmatrix} =0

将上式展开可得一个关于轴向力

F_P

的三次方程，而方程的最小的根便是临界荷载。

F_P^{cr} = \frac {28.97EI}{l^2}

本问题临界荷载的精确值为

F_P^{cr} = \frac {28.4EI}{l^2}

，上述有限元解比精确值偏高约2%，原因是假定了单元的位移函数相当于增加了无形的约束,从而增加了结构的刚度。

采用上述算法得不到屈曲模态，需要改进。

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原始发表：2024-05-19，如有侵权请联系 cloudcommunity@tencent.com 删除

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