对称与魔术初步（一）——美丽的对称

在前面《循环、递归与魔术（一）——递归与循环的数理逻辑》系列中，我们曾介绍过递归与循环的逻辑结构以及他们在魔术中的应用。而在我早期的公开分享中，往往还会带上对称这一结构，并且举过我在泰姬陵上看到图案的例子。您看：

图1 泰姬陵的对称图案

上面这张是个微观结构，从宏观上看，也许更为壮观。

图2 泰姬陵远景

我常说，人类的大脑天然对循环，递归和对称这种服从某种规律的对象感到舒服和满足，也可能是进化教会我们的，三庭五眼总比歪瓜裂枣要来的美，也更有更好的能力繁殖后代。虽然我研究不清楚上帝是以什么机制推演出这个结果让人们使用，但我们都能清晰感受到，对称的美，如上面这般静谧的泰姬陵，让人美不胜收，十分舒服。

Robert Giobbi在Card College里说，整体欣赏是艺术，揉碎了思考是科学。艺术的美感大家自己多多体会，今天我们来讲解一下对称结构的数学描述，把这一感性的概念上升到理性层面，何尝不是另一种美。

不过这些都是最浅层的，几何图案这个层面的几种简单的对称而已，对称性质以及背后的数学建模方法里，却是有着无穷智慧的。这个系列我们先抛砖引玉，从魔术的表现效果上，来看一看对称之美。

什么是对称？

要从科学角度揉碎对称，那到底什么是对称，有哪些对称，以及，怎么描述形态各异的对称这些问题就是我们首先要尝试理解的了。

好像小学就学过轴对称，中心对称这些概念，他们是否就是所有的对称形式？有没有统一的描述？

三维空间中的对象比如化学里的晶胞，有机物的分子结构等他们对称似乎更加复杂，到底该怎样认识和描述呢？

我们先回顾一下三者的基本数学描述：

循环：f(x + T) = f(x)，T为周期，故也可以叫周期性。

递归：f(x) = g(f(x - 1))，总体总是能化为更小的自己来解决。

对称：f(x) = x，对象有某个操作下的不变性。

前面二者我不再多提，其相应的数学结构和原理在前后的文章都会有提到。我们仔细来观察一下对称的描述：

f(x) = x

这看起来又有点像数学里对函数不动点的描述？对称说的不是什么对折重合，旋转180度重合么，和这不动点有啥关系？

我们来看其严格定义：（来自wiki）

Symmetry：a mathematical object is symmetric with respect to a given mathematical operation, if, when applied to the object, this operation preserves some property of the object.

Fixed point：a fixed point (sometimes shortened to fixpoint, also known as an invariant point) of a function is an element of the function's domain that is mapped to itself by the function.

理解一下，如果一个操作在某个对象上作用的结果和原来一样，那么我们称该对象是该函数的不动点，也叫1周期点（自然也有n-周期点，后面再讨论）。而对称指对象的某特性不随数学转换而变化。特别地，在物理中，常叫不变量（invariant），而对称一词在日常生活中也常常和几何图形在形变下的性质保持联系起来，那只是把对象限定为几何体，操作为几何变换的特殊对称罢了。

不过，对称的本质和不动点没有两样，只是强调的点不同。不动点侧重描述的是函数的性质，如果强调在整个定义域中少量的对称点，则多用不动点描述，比如轴对称图形处在对称轴上的点，关于对称轴的翻转变换就是不动点；而如果是整个对象完整的性质，不强调在一整个定义域内的地位，一般叫对称，比如整个轴对称图形关于翻转操作对称。而且一般而言，一个操作会产生一群互相对称的对象，这些对象之间的关系以及整个结构的描述和性质，会归为对称性而不是不动点的研究，里面的元素在其内操作下都是某性质的不动点（比如都在这个集合内），不动点成了一个基本性质的描述罢了。

我们上面直观看到的对称图案或其他立体对象的对称等本质上是其进行某个刚体变换（变换前后任意两点间距离不变，有长度角度保持不变，包括平移和旋转，镜面对称要算的话可以看作更高一个维度的旋转对称，从分析仿射变换的矩阵公式就发现二维点的变换需要用三维矩阵表示就可以得到启发）以后，能够和原图形重合，无法分辨的性质。于是我们小时候学的轴对称，中心对称对应的仅仅是平面镜面对称和平面内绕点旋转180度这两个操作下的不变性，只是对称的两个特例而已，远不是全部，而且还经常被有局限地视作是对称的两个部分的相互对应可以操作重合的性质（这个所谓的重合，并非对称的本质，只是说明了这是个对称操作，只不过刚好操作前后的两个元素共同构成对称群C2），或者叫对应性。

理论上，几何体的任何变换的不变性都可以称作该对象的对称性，比如旋转任意角度，平移任意长度或其组合的刚体变换，以及尺度变换等等。而实际上，数学上的对称可以抽象至任何对象在操作下的不变性。比如，函数如果满足与其反函数相等，那就是对称函数，如果是实数函数，画出图来倒也与其图形的对称相互辉映。在这个意义下，前面所说循环，或者周期性，就是指的+T操作的不变性了（函数图像的平移，图案的平移，切牌等等），递归则是值的规模变化的时候结构的不变性，排列去掉一个元素依然是排列，集合少了一个元素，也依然是集合。

实际上，我们日常生活中间的几何对称，没有数学上这么严格，可以基本上看是图案上的一种和谐，对应的一种美。它部分和我们数学上的对称重合，而有时候根本不是数学定义的对称，而有时候，数学上的对称却不被人们一眼识得。正因为如此，我们才要从数学本质的角度，来研究一下对称。

对称实例欣赏

好了，前面知道了对称和不动点本质，那么接下来，我们就可以发现，生活和科学里的对称，远不仅仅是中心对称和轴对称，还有各式各样花式对称：

比如，魔方，这个公认的对称之王：

图3 3阶魔方

如果你忽略面的颜色，把所有的棱块，角块和面心各自看成完全相同的对象，仅仅在空间位置有区别，那么你的任何一个拧法都是这个魔方的一个对称操作，因为你拧完以后这个魔方看起来就是完全没有变嘛！

这让我联想起了小时候奥数里学的很多构造各种阶次幻方的方法，也饱藏着各种对称的思想。以及化学里学到的各种有机结构：

图4 C60足球烯

你踢的足球居然和这玩意一个结构，造足球的人怕是学化学的吧？

还有个常见的例子是甲烷的空间结构，这玩意和正四面体是同构的，而其空间表示b才能表达其真实结构，a的平面图则是另一种对称了，不是甲烷的真实对称结构。比如a要在平面内旋转90度可以和自己重合，b则是沿着任意一根C-H键旋转120度。

图5 甲烷的空间结构

除了上面这些硬核的对称对象，以几何对称为代表的的美学对称性在生活中更是随处可见，我们人脸以对称为美，你和物理镜子里的你一起构成轴对称dui对象，还有各种地砖，墙纸图案带来的对称美感，最极致的对称美也要属文章开头的泰姬陵了。源于生活又高于生活的对称，我们怎么能不用数学工具，好好研究学习一番呢？

结语和展望

说到这里，我相信你对对称这一数学概念应该是变得又好奇，又迷糊了。人脑面对这样高度对称的对象总是有一种直觉上觉得美，同时我还会因为没有掌握其真正的内涵而恐惧，并相信它不仅表面好看，而且一定还有一些内部规律，不像简单地把对称理解成对应这么简单。

是的，对称的说法源自天然地对图案美的追求，但经理性探究以后却发现，在这美的背后，一定还有更深层次的物理地本质等待挖掘，也需要更高级的数学工具来支撑，而不是简单的对应性这么简单。当我们面对更为复杂的对称特性的时候，一方面可以宏观欣赏，另一方面，也可以抽丝剥茧，去探究其内部真正的数学结构。

不过就我目力所及的研究下来发现，对称它一定是源于人们直觉上的对应的美，再慢慢抽象出数学模型变成一个数学话题的，这其中就尽是数学那该死的魅力了。

对称和其描述的议题太大，我分了好几个系列准备分别开讲。这第一个系列，我打算抛砖引玉，仅就浅层的，你我都能一眼识得的呈现而出的对称之美在魔术上的展现作一分享，其后更大的数学秘密，也请随我，逐步揭开之！

老规矩，先上下一期要分享的魔术视频，下期见！