我们真的需要把训练集的损失降到零吗？

在训练模型的时候，我们需要将损失函数一直训练到0吗？显然不用。一般来说，我们是用训练集来训练模型，但希望的是验证机的损失越小越好，而正常来说训练集的损失降到一定值后，验证集的损失就会开始上升，因此没必要把训练集的损失降低到0

既然如此，在已经达到了某个阈值之后，我们可不可以做点别的事情来提升模型性能呢？ICML2020的论文《Do We Need Zero Training Loss After Achieving Zero Training Error?》回答了这个问题，不过实际上它并没有很好的描述"为什么"，而只是提出了"怎么做"

思路描述

论文提供的解决方案非常简单，假设原来的损失函数是\mathcal{L}(\theta)，现在改为\tilde{\mathcal{L}}(\theta)：

其中b是预先设定的阈值。当\mathcal{L}(\theta)>b\tilde{\mathcal{L}}(\theta)=\mathcal{L}(\theta)，这时就是执行普通的梯度下降；而\mathcal{L}(\theta)<b\tilde{\mathcal{L}}(\theta)=2b-\mathcal{L}(\theta)，注意到损失函数变号了，所以这时候是梯度上升。因此，总的来说就是以b为阈值，低于阈值时反而希望损失函数变大。论文把这个改动称为"Flooding"

这样做有什么效果呢？论文显示，在某些任务中，训练集的损失函数经过这样处理后，验证集的损失能出现"二次下降（Double Descent）"，如下图

左图：不加Flooding的训练示意图；右图：加了Flooding的训练示意图

简单来说，就是最终的验证集效果可能更好一些，原论文的实验结果如下：

Flooding的实验结果：第一行W表示是否使用weight decay，第二行E表示是否使用early stop，第三行的F表示是否使用Flooding

个人分析

如何解释这个方法呢？可以想像，当损失函数达到b之后，训练流程大概就是在交替执行梯度下降和梯度上升。直观想的话，感觉一步上升一步下降，似乎刚好抵消了。事实真的如此吗？我们来算一下看看。假设先下降一步后上升一步，学习率为\varepsilon，那么：

近似那一步实际上是使用了泰勒展开，我们将\theta_{n-1}看作x，\varepsilon g(\theta_{n-1})看作\Delta x，由于

所以

最终的结果就是相当于学习率为\frac{\varepsilon^2}{2}、损失函数为梯度惩罚\Vert g(\theta)\Vert^2 = \Vert \nabla_x \mathcal{L}(\theta)\Vert^2的梯度下降。更妙的是，改为"先上升再下降"，其表达式依然是一样的（这不禁让我想起"先涨价10%再降价10%"和"先降价10%再涨价10%的故事"）。因此，平均而言，Flooding对损失函数的改动，相当于在保证了损失函数足够小之后去最小化\Vert \nabla_x \mathcal{L}(\theta)\Vert^2，也就是推动参数往更平稳的区域走，这通常能提高泛化性（更好地抵抗扰动），因此一定程度上就能解释Flooding有作用的原因了

本质上来讲，这跟往参数里边加入随机扰动、对抗训练等也没什么差别，只不过这里是保证了损失足够小后再加扰动

继续脑洞

想要使用Flooding非常简单，只需要在原有代码基础上增加一行即可

logits = model(x)
loss = criterion(logits, y)
loss = (loss - b).abs() + b # This is it!
optimizer.zero_grad()
loss.backward()
optimizer.step()

有心是用这个方法的读者可能会纠结于b的选择，原论文说b的选择是一个暴力迭代的过程，需要多次尝试

The flood level is chosen from b\in \{0, 0.01,0.02,...,0.50\}

不过笔者倒是有另外一个脑洞：b无非就是决定什么时候开始交替训练罢了，那如果我们从一开始就用不同的学习率进行交替训练呢？也就是自始自终都执行

这就相当于自始自终都在用学习率\varepsilon_1-\varepsilon_2来优化损失函数\mathcal{L}(\theta) + \frac{\varepsilon_1\varepsilon_2}{2(\varepsilon_1 - \varepsilon_2)}\Vert\nabla_{\theta}\mathcal{L}(\theta)\Vert^2了，也就是说一开始就把梯度惩罚给加了进去，这样能提升模型的泛化性能吗？《Backstitch: Counteracting Finite-sample Bias via Negative Steps》里边指出这种做法在语音识别上是有效的，请读者自行测试甄别

效果检验

我随便在网上找了个竞赛，然后利用别人提供的以BERT为baseline的代码，对Flooding的效果进行了测试，下图分别是没有做Flooding和参数b=0.7的Flooding损失值变化图，值得一提的是，没有做Flooding的验证集最低损失值为0.814198，而做了Flooding的验证集最低损失值为0.809810

根据知乎文章一行代码发一篇ICML？底下用户Curry评论所言："通常来说b=0.4和b=0.5，做了两次Flooding实验，结果如下图

值得一提的是，b=0.4和b=0.5时，验证集上的损失值最低仅为0.809958和0.796819，而且很明显验证集损失的整体上升趋势更加缓慢。接下来我做了一个实验，主要是验证"继续脑洞"部分以不同的学习率一开始就交替着做梯度下降和梯度上升的效果，其中，梯度下降的学习率我设为1e-5，梯度上升的学习率为1e-6，结果如下图，验证集的损失最低仅有0.783370

References

• 我们真的需要把训练集的损失降低到零吗？
• 一行代码发一篇ICML？