线性代数--MIT18.06(二十九)

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29. 相似矩阵和若尔当形

29.1 课程内容：相似矩阵和若尔当形

回顾一下上一讲关于正定矩阵的性质：

• 对称
• 逆矩阵亦为正定矩阵(由于原矩阵的特征值与逆矩阵互为倒数，那么逆矩阵的特征值也全部大于0)
• 若

为正定矩阵， 亦为正定矩阵（因为

正定，则

，

, 那么

）

另外在最小二乘的章节，我们还提到很关键的一个矩阵

，其中

为长矩阵(

) ，根据性质，我们知道

对称且为方阵，现在我们关注其正定性，还是利用同样的判定方法，我们得到

也就是说判定条件得到的总是

的长度的平方，那么其值总是大于等于 0 的，只需要保证零空间中只有零向量，即可保证值总是 大于 0 ，即

的各列线性无关，

，就可得到其为正定矩阵。

相似矩阵

如果

都为

阶方阵，两者相似意味着存在一个可逆矩阵

，使得

成立。

在之前的章节讲解过的对角化

，说明

与

相似。

举个例子

随机取

, 即可得到一个例子：

当我们取其他的可逆矩阵

时，又可以得到其他的矩阵

与

相似。这些相似矩阵的共同点是什么呢？他们的特征值相同（特征向量不一定相同）

可以简单证明:

这是特征值都不相同的情况下，我们可以得到很好的形式，但是还存在相同特征值的情况（特征值重复的矩阵的相似性），这时候我们就需要引入若尔当形（Jordan Form） 和 若尔当块（Jordan Block），比如

，之前我们说具有相同特征值得矩阵都是相似的，现在则需要将他们分为两类，在这里

仅其自己为一个类别（特征值存在重复，特征向量不独立，于是矩阵无法对角化，因此这类矩阵中的对角矩阵为孤零零的一个群体，自己与自己相似）, 其他的相似矩阵为另一类

这里的第二类相似矩阵就称为若尔当形。

并且还可以将若尔当形再进行划分为若尔当块，每一个若尔当块对应一个特征向量（若尔当块的数量也就对应于特征向量的数量），即

因为仅仅通过特征值相同，特征向量个数相同来判断两个矩阵为相似矩阵是不正确的，根据若尔当定义 ，每个矩阵都相似于一个若尔当矩阵 ，若尔当矩阵的形式为由若尔当块构成，若尔当块的数量与特征向量的数量相等。

看如下两个矩阵

他们的特征值都为 0 , 并且矩阵的秩都为 2 ，也就是说特征向量的个数也是相同的，都为 2 。但是从若尔当的角度去看，它们是不相似的，因为他们的若尔当块是不同的。

对于

矩阵可看成

若尔当块与

若尔当块构成， 而

矩阵则是 2 个

若尔当块构成。因此他们不相似。

29.2 习题课

2011年相似矩阵习题课

判断下列陈述的正误，并解释。

1. 矩阵

和

相似，则

与

相似？

1. 对于

矩阵

和

,特征值为

, 则

相似？

1. 对于

和

，两者相似？

，

解答

1. 若

相似，则说明

,

即两者是相似的。

1. 根据特征值的情况可知，

,

, 说明

与

分别与

相似，因此

相似

1. 判断

可知其零空间为 1 维空间，而

的零空间为 2 维空间，因此两者是不相似的。