二小姐对群环域的理解

大家好，又见面了，我是你们的朋友全栈君。

群

从本质上来看，群=非空集合+二元运算，群的定义主要包括四个方面：

1. 封闭性：二元运算的定义就可以满足这个性质
2. 结合律：可以确保多个元素运算时得到唯一的结果，不受运算先后的影响，从而有(或na)的表达式
3. 单位元：唯一
4. 逆元：任意元素均有且唯一

特殊的群为循环群；

群举例：Z（加法）；Zn(加法)

明确了群的定义后，我们接着了解群的各类特殊子群的定义和性质：

子群H=群G的子集合+二元运算；一个子群H可以确定若干个陪集；|陪集个数|*|H|=|G|

正规子群的定义十分重要，要求ah∈H，其中h∈H，a∈G；随之而来的是商群G/H；

补充:共轭的概念；自同构；同构；同态；

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环

从本质上看，环=加法交换群+乘法结合律+加法乘法分配律；（简记为一个半群）

环根据四个要素分为不同类型的环（从而具有更特殊的性质）

1. 单位元（乘法）->单位元环
2. 交换律（乘法）->交换环
3. 零因素
4. 非零元素的乘法逆元

得到的特殊类型环：整环（环+1+2+3）；除环（环+1+3+4）；域（除环+2=环+1+2+3+4）

！！！（敲重点）有限整环都是有限域

明确了环和特殊环的定义后，现在着重研究下子环的特点和性质

子环与子群的概念是类似的；子环中特殊的为理想，相当于群中的正规子群，相应的有，环R/理想I为商环

理想也可以分为素理想、 极大理想、 主理想等；

重要定理：对于一个带有单位元的交换环R而言，有

1. 理想M是极大理想<=>R/M是域
2. 理想P是素理想<=>R/P是整环
3. 极大理想都是素理想
4. 当R是一个主理想环，R/(c)是域<=>c为素数

补充：环的特征，实质就是环的加法运算中使最少个任何数为0的对应的数，为素数或0；交换环中利用环的特征有一系列公式。

同群类似，环也有相应的针对两个运算的同态 同构 自同构的概念；

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