导读：什么是悖论？
日本波岩书店《数学百科辞典》关于悖论辞条是这样说的：能够导出与一般判断相反的结论，而要推翻它又很难给出正当的根据时，这种论证称为悖论。
特别是，如果一个命题及其否定均可用逻辑上等效的推理加以证明，而其推导又无法明确指出错误时，这种矛盾，便称为悖论。
即是说，所谓悖论，是指这样一个命题A，由A出发，可以推出一个命题B，但从这个命题B，却会出现如下自相矛盾的现象：若B为真，则推出B为假；若B为假，又会推出B为真。
来源：《数学美拾趣》
01 悖论的三种主要形式
（1）一个论断看起来好像肯定错了，但实际上却是对的（佯谬）；
（2）一个论断看起来好像肯定是对的，但实际上却错了（似是而非的理论）；
（3）一系列推理看起来好像无懈可击，可是却导出了逻辑上的自相矛盾。
02 悖论存在的意义
悖论是一个涉及数学、哲学、逻辑学、语义学等非常广泛的论题，是一种现时的科学理论体系所解释不了的矛盾。正因为如此，悖论在“荒诞”中蕴涵着哲理，可以给人以启迪，给人以奇异的美感。
沿着它所指引的推理思路，可以使您走上一条繁花似锦的羊肠小道，而又使用您在不知不觉中陷入自相矛盾的泥潭。但经过破译，将会使您感到回味无穷，并且能从中启发思维，提高能力。
逻辑学家赫兹贝格说：
悖论之所以具有重大意，是由于它能使我们看到对于某些根本概念的理解存在多大的局限，……事实证明，它是产生逻辑和语言中新概念的重要源泉。
03 悖论举例
1. 上帝全能悖论
甲说：“上帝是全能的。”乙说：“全能就是世界上任何事都能办到。请问：上帝能创造出一个对手来击败他自己吗？”如果说能，则上帝可以被对手击败，并非全能的；如果说不能，则说明上帝并非是全能的。
2. 唐·吉诃德悖论
著名小说《唐·吉诃德》里描写了一个残酷的国王，在他所能统治的国家里有一条法律：每个旅游者都要回答一个问题：“您来这里干什么？”如果回答对了，一切事情都好办；如果回答错了，立刻被绞死。
某天，有个旅游者来到这个国家，回答上述问题时他答道：“我是来被绞死的。”如果旅游者回答是对的，按照法律，他就不应该被绞死；如果旅游者回答是错的，按照法律应被绞死，而他的“我是来被绞死的。”这句话显然又是回答对了，也不应该被绞死。最后，国王无可奈何，只得对旅游者放行。
3. 撒谎者悖论
这是古老、最重要的语义学悖论之一。这个悖论依欧几里得的叙述形式可以通俗表示为：“我现在所说的这句话是假话。”此话到底是真是假？如果此话为真，则“我现在所说的这句话是假话”为假了；如果此话为假，则“我现在所说的这句话是假话”为真了。
4. 理发师悖论
这是罗素集合悖论的一种通俗说法：萨维尔村里的一名理发师，给自己立了一条店规：“只给自己不给自己刮脸的人刮脸。”那么这位理发师的脸该不该由自己刮呢？
如果理发师的脸由他自己刮，则他属于“自己给自己刮脸的人”，因此，理发师不应该给自己刮脸；如果理发师的脸不由自己刮，则他属于“自己不给自己刮脸的人”，因此，他的脸可由自己刮，显然又与上述“自己不给自己刮脸的人”相矛盾。
5. 价值悖论
价值悖论（钻石与水悖论）首次由约翰·劳提出，其认为钻石对生命来说是不重要的，所以人们应该认为它的价值比水低。后来亚当·斯密试图说明价值决定因素时借用了这个例子，只不过亚当·斯密没有致谢。此一理论在中国台湾教科书中常被称作，钻石与水的矛盾。
众所周知，钻石对于人类维持生存没有任何价值，然而其市场价值非常高。相反，水是人类生存的必需品，其市场价值却非常低。这种强烈的反差就构成了这个悖论。
为什么会有这样的现象呢？若不考虑市场上的其他因素，沙漠地区的水比钻石贵，或者是需求面的因素。
就供给面来说，水的数量非常大，且几乎随处可见(如果不考虑荒漠干旱地区，地球上几乎处处都有水，包含大气层中的水汽)；而钻石呢，是蕴藏在地表底下，且必须经过时间与适当的条件产生(如果不考虑人工钻石而单纯考虑自然钻石)，供给非常的少，因此水供给大，而钻石供给少，故会产生这样的现象。
6. 祖父悖论
祖父悖论又称为“外祖母悖论”是一种时间旅行的悖论，科幻故事中常见的主题。最先由法国科幻小说作家赫内·巴赫札维勒(René Barjavel)在他1943年的小说《不小心的旅游者》（Le Voyageur Imprudent）中提出。情景如下：
假设你回到过去，在自己父亲出生前把自己的祖父母杀死；因为你祖父母死了，就不会有你的父亲；没有了你的父亲，你就不会出生；你没出生，就没有人会把你祖父母杀死；若是没有人把你的祖父母杀死，你就会存在并回到过去且把你的祖父母杀死，于是矛盾出现了。
7. 特修斯之船悖论
特修斯之船(又译为忒修斯之船)亦称为忒修斯悖论，是一种同一性的悖论。
假定某物体的构成要素被置换后，但它依旧是原来的物体吗？
公元1世纪的时候普鲁塔克提出一个问题：如果忒修斯的船上的木头被逐渐替换，直到所有的木头都不是原来的木头，那这艘船还是原来的那艘船吗?因此这类问题现在被称作"忒修斯之船"的问题。有些哲学家认为是同一物体，有些哲学家认为不是。在普鲁塔克之前，赫拉克利特、苏格拉底、柏拉图都曾经讨论过相似的问题。近代霍布斯和洛克也讨论过该问题。这个问题的有许多变种，如"祖父的斧头"。
8. 电梯悖论
在一幢摩天大楼里，有一架电梯是由电脑控制运行的，它每层楼都停，且停留的时间都相同。
然而，办公室靠近顶层的王先生说：“每当我要下楼的时候，都要等很久。停下的电梯总是要上楼，很少有下楼的。真奇怪！”
李小姐对电梯也很不满意，她在接近底层的办公室上班，每天中午都要到顶楼的餐厅吃饭。她说：“不论我什么时候要上楼，停下来的电梯总是要下楼，很少有上楼的。真让人烦死了！”
这究竟是怎么回事?电梯明明在每层停留的时间都相同，可为什么会让接近顶楼和底层的人等得不耐烦?
9. 黄油猫悖论
黄油猫悖论（英文：Buttered cat paradox），是把两种民间常识组合而成的恶搞悖论，该常识为：
(1) 猫在半空中跳下，永远用脚着陆。
(2) 把黄油吐司抛到半空中，吐司永远在涂上黄油的一面落地。
这个悖论出在，你把黄油吐司没有涂上黄油的一面黏着猫的背部之时。依照以上两条定律，猫无法用脚着陆，因为黄油吐司永远在涂上黄油的一面落地；但同样的，黄油吐司涂上黄油的一面无法落地，因为猫永远用脚着陆。
04 认识的挑战
数学史上的三次数学危机，是由三次数学悖论的出现所引起的。1979年美国杰罗姆·马立兹认为几十年来，“悖论至今没有得到圆满的答案”。哥德尔甚至指出“悖论不解决，会使形式逻辑破产”。其实悖论的出现，并非使人类思维的错误或无能，而是某种必然的反映，使科学理性进步的阶梯。
普里斯特说：“悖论式命题充满着使人惊奇的内容。”在科学的发展过程中各个领域都出现了一些在思维上，推理上不清楚的问题。有的“似是而非”有的“似非而是”，基至有些是“猜谜”性质的也被称为悖论。
如有些数学书刊上出现的一种“数学诡辩题”，问题幽默风趣，往往妙不可言，不仅引人入胜，而且发人深思。每一道数学诡辩题的破译，都可以正反两个方面加深对数学基本概念和基本方法的理解。
悖论不是闲谈的趣闻，它预示着更新的创造和未来。在某种意义上来说，悖论推进了科学的进程，激发了科学家的热情。正如哲学家维特根斯坦早在1930年所指出的：“即使在目前阶段我也要预言，总会有一天出现包含有矛盾的数学演算研究，人们将会感到真正的自豪，因为他们把自己从协调性的束缚中解放出来。”人们对数学美学标准的认识，将会有所突破和创新，到那时，人们对悖论的看法也会是见 “怪” 不 “怪” 了。
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