3个数学难题——走进传奇数学天才的数字游戏

于今年4月死于COVID-19的传奇数学家约翰·霍顿·康威像孩子一样喜欢发明拼图游戏。他对许多谜题进行了详细的分析，例如索玛立方体，钉纸牌和康威的士兵。他发明了“末日算法”(一种在头脑中计算星期几的快速方法——康威可以在两秒钟内完成）和无数游戏，包括“豆芽”和著名的“生命游戏”，生命游戏启动了细胞自动机的研究。

康威大量的数学工作也源于他对玩数学游戏的嗜好。他在群论，高维几何，镶嵌，纽结理论，数论（超现实的数字），代数，数学逻辑和分析方面做出了重要的贡献。

这里，我们用两个谜题和一个探索游戏来走进这位著名的英国数学天才。首先，我们将玩一个由康威发明的数字谜题，它本身就是完美。然后我们将欣赏一个几何拼图。最后，我们将沉浸在一个开放式游戏中，它类似于康威的标志性作品《生命游戏》。

难题1：完美数字

有一个神秘的十位数小数，abcdefghij。每个数字都是不同的，它们有以下特性：

a能被1整除

ab能被2整除

abc能被3整除

abcd能被4整除

abcde能被5整除

abcdef能被6整除

abcdefg能被7整除

abcdefgh能被8整除

abcdefghi能被9整除

abcdefghij能被10整除

请问这个数字是？一旦你读了前两个条件，你就会清楚地知道剩下的条件是什么了。然后这些自然条件产生了一个唯一的答案，这是令人惊奇的。

当然，您可以通过使用计算机暴力地解决这个难题，这样就没有乐趣了。我建议你们用笔和纸来做。所有这种类型的“数字谜题”都可以用一个熟悉的两步过程来解决——首先你推导出数字之间的关系，这缩小了答案的范围，然后你对未知的数字进行系统的试错搜索。在这种情况下，您可以使用在学校学到的技巧来确定一个数是否能被给定的数字整除。

事实上，如果你想要一个更大的挑战，试着完全在你的头脑中解答这个数字谜题。毕竟，康威以“徒手解决数学问题”而闻名。这需要极大的专注和耐心，但我向你保证，这是可以做到的。

难题2：“模棱两可”的三角形

有一个等腰三角形，三角形其中一个角的度数是x度，腰长和底长之比是y。

有两个不同的三角形有完全相同的x和y值！

这两个等腰三角形的x和y的值是多少？这些三角形有什么特别之处？它们与康威的作品有什么关系？

这个游戏会让你进入康威的思维模式——你会涂鸦小图表并创建不同的结构，就像他在《豆芽游戏》和《生活游戏》中所做的那样。我们的游戏创造了类似氨基酸的结构。

难题3：随机模式

你在一个无限的平面上放置正方形的瓷砖。一次随机添加一个新瓷砖，使每个新瓷砖至少与先前放置的瓷砖共享一条边。一个瓷砖被放置在任何给定位置的概率与之前放置的与该位置相邻的瓷砖的边数成比例。

考虑这两个例子：

如果只有一个瓦片，那么第二个瓦片落在原瓦片的北面、南面、东面或西面的概率相等。

如果有一个由8个瓦片组成的环，那么环的外面有12个位置，中间有一个位置，所有这些位置对于下一个瓦片的放置都是有效的。中间的那个块接收瓦片的可能性是任何外部放置的4倍，因为它与之前放置的瓦片共享四条边，而不是只有一条边。

我们将任何外形的“毛羽”(H)或外观定义为暴露瓷砖边缘的数量除以瓷砖的数量。例如：

在平面上有一个图块时，H= 4个边÷1个图块= 4。

对于由八个图块组成的环，H= 16个边沿÷8个图块= 2。

对于一行八个图块，H= 18个边÷8个图块= 2.25。

H的倒数可称为构型的内在性或紧致性。

这个游戏的目的是纯粹的探索。不像我们所习惯的大多数游戏，但像康威的生活游戏一样，这是一个“没有玩家，永远不会结束”的游戏，正如康威描述他的创造。对我来说，我们游戏的动力就像是成年儿童如何平衡他们想要亲近父母的愿望和想要独立生活的愿望。参数H是衡量它们在保持最小接触的情况下分散了多少，而它的倒数，内在性，是衡量它们聚集了多少。

这里有一些问题来指导你探索这个方形的世界。

一个新瓦片可以放在一个边(只碰到一个瓦片)、一个角(碰到两个)、一个U字里面(碰到三个)或一个洞里面(碰到四个)。每个位置如何影响新配置中暴露的边的数量?

H的最小值和最大值是多少，它们对应的是什么类型的平铺图案？你能想出一个近似的或确切的公式来说明当块数(n)增加时H的最大值和最小值吗？

给定n时H的期望值是多少(近似的或确切的)?

找到“平衡”的最小的瓦片，这样下一个瓦片的添加可能增加暴露的边缘的数量，也可能减少它。你能找到一种具有这种性质的对称构型吗？

在添加一个平铺块后，找出H的期望值保持不变的最小平铺块。满足这个性质的次小平铺是什么？

现在你自己去探索这些游戏吧。也许你会发现一个新奇的结构或者证明一个定理。欢迎评论区给出你们的答案！