圆中切线的性质与判定，这4种证明方法太经典了，还有一句口诀需牢记！

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切线，就是一根直线“轻轻碰了一下圆”，证明切线的口诀：“有交点，连半径，证垂直；无交点，作垂直，证半径。”

切线和圆只有一个公共点。这是切线定义所决定的，因为切线是指和圆只有一个公共点的直线。

切线的重要性质包括：圆心到切线的距离等于圆的半径。圆的切线垂直于经过切点的半径。从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。

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切线的判定即：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

证明切线的常用方法主要有以下两种（即两句口诀）：

有公共点时 —— 连半径，证垂直：

利用勾股定理逆定理证垂直：如果已知条件中给出了线段的长度信息，可以通过计算相关线段长度的平方关系，来证明半径与直线垂直。

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例如，已知圆的半径、某线段以及该线段到圆心的距离，若满足勾股定理的逆定理关系，则可证明直线是圆的切线。

比如在一个问题中，给出圆的半径为r，某点到圆心的距离为d，以及该点到圆上另一点的线段长为l，若d²+r²=l²，则可证明过该点的直线与圆相切。

利用特殊角计算证垂直：当图形中存在特殊角度，如30º、60º、45º等特殊角及其相关的角度关系时，可以通过角度的计算和性质来证明半径与直线垂直。

例如，在一个圆中，已知一条直线与圆的半径构成一个直角三角形，其中某个角的度数为30º，根据直角三角形中30º所对的直角边是斜边的一半等性质，来证明该直线是圆的切线。

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利用等角代换证垂直：通过证明与半径相关的角和已知的直角或其他垂直关系的角相等，从而得出半径与直线垂直。

比如，已知圆中一条弦与半径构成的角与另一个已知垂直的角相等，那么就可以证明直线与圆相切。

利用平行线性质证垂直：如果存在与要证的切线垂直的直线，那么证明半径与这条直线平行，即可证明直线是圆的切线。

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例如，已知一条直线与圆有公共点，且圆的半径所在直线与另一条已知垂直的直线平行，那么可证明该直线是圆的切线。

利用三角形全等或相似证垂直：构造与切线相关的三角形，通过证明这些三角形与含90º角的三角形全等或相似，得出半径与直线垂直的关系。

例如，已知圆外一点到圆上两点的连线以及圆的半径，通过证明三角形全等，得出角为90º，从而证明直线是圆的切线。

利用等腰三角形 “三线合一” 证垂直：当半径与直线的交点是等腰三角形的底边中点时，可利用等腰三角形 “三线合一” 的性质，证明半径与直线垂直。

比如，已知圆中一条半径与一条直线相交于圆上某点，且该点所在的三角形是等腰三角形，半径是底边的中线，那么可证明直线是圆的切线。

无公共点时 —— 作垂直，证半径：

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当直线与圆的公共点不明确时，可以过圆心作直线的垂线，再证圆心到直线的距离等于半径。

通常会借助角平分线的性质、三角形全等或勾股定理等方法来证明垂线段的长度等于圆的半径。

例如，已知一个圆和圆外一点，过该点作直线，然后过圆心向该直线作垂线，通过证明垂线段的长度与圆的半径相等，来证明直线是圆的切线。