5.20快乐

用户9628320

发布于 2022-11-22 11:30:24

2870

发布于 2022-11-22 11:30:24

刚从知乎上刷到这道题，题目非常有意思，适合表白，不过具体的我也没看，借鉴一下人家的意见。

求证

\frac{\int_{0}^{+\infty}e^{-s}s^5ds+\frac{\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-\frac{t^2}{2}}dt}{\int_{0}^{+\infty}sint^2}dt(\frac{\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{2n+1}}{\int_{0}^{+\infty}\frac{sinx}{x}}dx+\frac{\sum_{n=1}^{\infty}\arctan\frac{2}{n}}{\underset{t\rightarrow 0^{+}}{\lim}\int_{-2020}^{2020}}\frac{tcosx}{x^2+t^2}dx)}{\underset{n\rightarrow \infty}{\lim}\{[(\int_{0}^{1}\frac{x^{n+1}}{1+x}dx)n-\frac{1}{2}]\frac{n}{2}\}}=520

求证：

\varGamma 函数部分：\frac{\int_{0}^{+\infty}e^{-s}s^5ds}{2}=\frac{1}{2}\varGamma(6)=60

高斯积分部分：\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\frac{t^2}{2}}dt=\sqrt{2\pi}

菲涅耳积分部分：\int_{0}^{+\infty}sint^2dt=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\pi}{2}}

\arctan x 幂级数部分：\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{2n+1}=\arctan1=\frac{\pi}{4}

\arctan x加法公式部分：\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\arctan \frac{2}{n^2}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2n^2}+\sum_{n=1}^{\infty}\arctan \frac{2}{(2n-1)^2}=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{2}=\frac{3\pi}{4}

拉普拉斯积分部分：\underset{t\rightarrow 0^{+}}{\lim}\int_{202}^{2020}\frac{t \cos x}{x^2+t^2}dx=\underset{t\rightarrow 0^{+}}{\lim}\int_{-2020}^{2020}\frac{\cos t\frac{x}{t}}{(\frac{x}{t})^2+1}d\frac{x}{t}\\=\underset{t \rightarrow 0^{+}}{\lim}\int_{-2020}^{2020}\frac{\cos tu}{u^2+1}=\underset{t\rightarrow 0^+}{\lim}\pi e^{-t}=\pi

分母不知名积分极限部分：\underset{n\rightarrow \infty}{\lim}\{[(\int_{0}^{1}\frac{x^{n-1}}{1+x}dx)n-\frac{1}{2}]\frac{n}{2}\}=\underset{n\rightarrow \infty}{\lim}\{[\int_{0}^{1}\frac{x^{n-1}}{1+x}dx-\frac{1}{2n}]\frac{n^2}{2}\}\\=\underset{n\rightarrow \infty}{\lim}\{[\int_{0}^{1}\frac{x^{n-1}}{1+x}-\int_{0}^{1}\frac{x^{n-1}}{2}dx]\frac{n^2}{2}\}=\underset{n\rightarrow \infty}{\lim}\{[\int_{0}^{1}\frac{x^{n-1}-x^n}{1+x}]\frac{n^2}{4}\}

\int_{0}^{1}\frac{x^{n-1}}{1+x}dx=\frac{\frac{x^n}{n}-\frac{x^{n+1}}{n+1}}{1+x}|_{0}^{1}+\int_{0}^{1}\frac{}{\frac{x^n}{n}-\frac{x^{n+1}}{n+1}}{(1+x)^2}dx\\=\frac{\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}}{2}+\frac{\frac{x^{n+1}}{n(n+1)}-\frac{x^{n+2}}{(n+1)(n+2)}}{(1+x)^2}|_{0}^{1}+2\int_{0}^{1}\frac{\frac{x^{n+1}}{n(n+1)}-\frac{x^{+2}}{(n+1)(n+2)}}{(1+x)^2}dx

\underset{n\rightarrow \infty}{\lim}\{[\int_{0}^{1}\frac{x^{n+1}-x^n}{1+x}dx]\frac{n^2}{4}\}=\underset{n\rightarrow \infty}{\lim}\frac{n^2}{4}\frac{\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}}{2}+\underset{n\rightarrow \infty}{\lim}\frac{n^2}{4}\frac{\frac{1}{n(n+1)}-\frac{1}{(n+1)(n+2)}}{4}+o(\frac{1}{n})

综上所述：

原式=\frac{60+\frac{\sqrt{2\pi}}{\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2}\pi}}(\frac{\frac{\pi}{4}}{\frac{\pi}{2}}+\frac{\frac{\pi}{4}}{\pi})}{\frac{1}{8}}=\frac{60+5}{\frac{1}{8}}=520

最后，祝大家520快乐！

作者：小熊

日期：5.20

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