上期讲了绕组磁势的齿谐波和相带谐波产生的机理。本期继续进一步分析绕组磁势谐波的影响因素与谐波抑制。
1 关于相数与相带谐波
上期讲到，相带谐波是由相带划分而引起的，由于相数有限，同一相带内的槽内电流相位相同，磁势变化斜率相同；不同相带范围内的槽内电流相位不同，磁势变化斜率不同。使得整个绕组产生的磁势由多段折线组成。用有限段折线逼近正弦曲线，必然会存在谐波，称其为相带谐波。定性地分析，如果相数增加，则折线段的数量将随之增多，且每个相带折线段的斜率也会按照正弦规律变化，这样相数越多，折线的形状就会越逼近基波正弦曲线，相带谐波就越小。如果把相数增加到无穷大，则折线就变成了基波正弦曲线，此时就即不存在齿谐波也不存在相带谐波了。由此可以定性地得出一个结论：相数越多，相带谐波就越小。
深入分析表明，上述结论并不特别严谨。因为通常所说的电机相数是指绕组对外连接的电气接口处电流具有的不同相位的数目。也就是说，按照这个定义，电机的相数就是电源(对电动机)或负载(对发电机)的相数。在这样的定义下，并不一定是相数越多，相带谐波就越小，因为电源相数不一定就是相带数，或者说电源相数不一定就是绕组磁势的折线段数，而绕组磁势的相带谐波大小主要取决于逼近正弦基波时的折线段数，即取决于相带数，严格地说应该是逼近正弦基波所用的折线段数越多，相带谐波越小。例如：通常所说的三相电机即可以划分为120º相带，这样每对极就包括三个相带，即每对极的磁势由三段折线组成；也可以划分为60º相带，这样每对极就包括六个相带，即每对极的磁势由六段折线组成。显然六段折线比三段折线去逼近一个正弦曲线谐波会更小。如果三相绕组划分为120º相带，则其相带谐波可能比两相绕组的相带谐波还要大，因为两相绕组可以划分为90º相带。造成这种情况的原因主要是对于绕组相数概念的内涵与外延没有很严格地加以限定所致。为此我们有必要重新对绕组的相数进行一个科学严谨的定义。
定义Ⅰ：从电机出线盒内看进去所通电流(或电压)具有的不同相位的数目称为电机绕组的物理相数。最常见的三相绕组通常就是指绕组的物理相数为三相。
定义Ⅱ：气隙圆周的槽中电流所具有的不同相位的数目，称为数学相数。例如，气隙圆周的槽中有5种不同的电流相位，则称绕组的数学相数为5相电机，同理，如果电流有50种不同的相位，则称数学相数为50相电机！
按照上述定义，电机的物理相数虽然和数学相数存在着一定的关系，但二者也有着各自不同的含义。物理相数强调的是电机绕组对外电气接口的电流(或电压)所具有的不同相位的数目；而数学相数则强调的是绕组内部划分出的相带数。显然对于单层绕组，数学相数就等于整个气隙圆周上一个单元电机的相带数。如前所述，绕组磁势的相带谐波大小和次数取决于折线段的段数，而折线段的段数又等于数学相数，由此应该进一步将上述的定性结论修正为：电机的数学相数越多，则磁势的相带谐波越小，波形越好。
但是，在分数槽的情况下，上面的定义仍然显得不太严谨。例如：一个4极39槽的鼠笼转子，按照上述定义，该转子绕组的相数显然为39相，而2极36槽的鼠笼转子，相数为36，那么能不能说这个39相的转子磁势波形要好于36相转子绕组的磁势波形呢？如果画出星形图或者进行谐波分析，很快就会得出否定的结论！很显然，上述39相转子，其相邻两槽电流相位差为720º／39＝18.46º电角度，而上述36相转子，其相邻两槽电流相位差为360º／36＝10º电角度。也就是说4极39相绕组的磁势每个折线段覆盖18.46º电角度；而2极36相绕组的磁势每个折线段覆盖10º电角度。也可以说4极39相绕组的磁势是用39段折线逼近四个正弦波；而2极36相绕组的磁势是用36段折线逼近一个正弦波。这样的话，显然36相转子磁势波形反而要好于39相的转子！这就是定义Ⅱ的局限性所在。为此，有必要对上述定义Ⅱ的数学相数再做进一步的限定。
定义Ⅲ：以一对极为基准，定义在气隙圆周的一对极范围内的槽中所具有的不同电流相位数目，称为绕组的每对极的数学相数。由于每对极对应着一个基波波长，因此每对极的数学相数就是用来逼近一个周期正弦基波磁势的折线段数。在这样的定义下，就可以非常严谨地说，每对极的数学相数越多，相带谐波就越小。
需要说明的是，按照上述定义Ⅱ，绕组的数学相数必定是一个正整数；而按照上述定义Ⅲ，每对极的数学相数不一定为正整数，例如上述4极39槽转子的数学相数为39相，每对极的数学相数为19.5相；而2级36槽转子的数学相数为36相，每对极的数学相数也是36相。事实上，在不同的文献中，对异步电机转子参数折算的过程中，确实既存在按定义Ⅱ的数学相数进行计算的，也存在按定义Ⅲ每对极的数学相数进行计算的，两者得到的最终折算结果当然是一样的！
2 物理相数和数学相数的关系
如前所述，物理相数是指电机出线盒内的电流相位数；而数学相数是指气隙圆周的槽内所具有的不同电流相位数。二者有一定的关系，但二者并不一定相等。相同的数学相数可以对应不同的物理相数，反过来说，相同的物理相数也可以设计成不同的数学相数。换句话说，就是要实现某一数学相数，可以有不同的物理设计方法！
以单层绕组为例，由于每个线圈的两个线圈边电流方向相反，即两个线圈边内的电流相位差180º，而且多单层绕组来讲，两个线圈边分别独立地占有一个槽，因此任意一相绕组都必须划分为两个相等的相带，一个为正相带，另一个为负相带。例如最简单的单相电机，其物理相数为1，由于单相绕组的电流是一端流入，另一端流出，线圈的两个有效边电流相位相反，这样的绕组在气隙中分布时必然会使气隙圆周上一部分槽中的电流和另一部分槽中的电流反相位，也就是说，气隙圆周的槽中电流有两种不同的相位，因此其数学相数为2相，即物理相数为1的绕组，数学相数为2。同理，物理相数为2的绕组，数学相数为4。
再来看看最常见的物理相数为3相的电机，其数学相数既可以是3，也可以是6，还可以是12！它们分别对应120º相带接法，60º相带接法，30º相带接法（星/三角混合绕组）。由此可见，同样的物理相数可以设计成不同的数学相数。而对于相带谐波的大小，只取决于每对极的数学相数，二者是唯一的对应关系，而与物理相数却并不是唯一的对应关系。当然从设计的灵活性角度来看，物理相数越多，可以设计的数学相数灵活度越大。要想减小相带谐波，需要更多的数学相数，增多物理相数对增加数学相数总体来说是有利的。因此采用多相绕组有利于减小磁势的相带谐波。
但是相数太多物理上却难以实现，例如要给39相的电机接入对称的39相电源，显然是难以实现的，供电的电力系统以及供电电缆会非常复杂，如果用半导体逆变来产生39相电源，显然也会用到很多的半导体元器件，导致成本非常昂贵。因此，实际的电机要在这方面进行权衡折中，也就是尽量用最少的物理相数，实现尽可能多的数学相数，或者简而言之，物理相数要少，而磁势波形又要尽可能好！3相电机乃至于3相输配电系统正是满足这样要求的折中产物！
3 关于齿槽数与齿谐波
说到齿谐波，自然会联想到齿槽，于是就想当然地认为因定转子开齿槽引起的谐波叫齿谐波。其实这种理解和说法存在一定的片面性，也非常不严谨。首先在概念上“齿谐波”本身不能成为一个孤立的概念，前面应该带有一个定语，用来限定是哪个物理量的齿谐波，电势的齿谐波？磁势的齿谐波？气隙磁场(或磁密)的齿谐波？气隙磁导的齿谐波？等等；其次就是这样定义齿谐波并没有体现出各种物理量的齿谐波与齿槽之间的本质联系。为此我们同样有必要重新梳理一下有关齿谐波的一些概念。
定义Ⅳ：因定转子开有齿槽导致气隙磁导不均匀，进而使得气隙磁导函数里面包含了一系列谐波，我们称这种谐波为磁导齿谐波。
定义Ⅴ：因定转子开有齿槽引起的气隙磁场(磁密)的谐波称为气隙磁场(磁密)齿谐波。
定义Ⅵ：因电枢开有齿槽而引起的绕组磁势谐波称为槽谐波。也就是通常所说的磁势齿谐波本文称其为槽谐波，以示与其它齿谐波的区别。
定义Ⅶ：因电枢开有齿槽而引起的绕组电势谐波称为齿谐波。也就是通常所说的电势齿谐波本文仍称其为齿谐波。
经过以上梳理和重新定义，将原来笼统的“齿谐波”分成了四个内涵不同的概念，并赋予了每个概念完全不同且确切的含义。首先说磁导齿谐波，如果定转子都不开槽且气隙是均匀的，那么气隙磁导就是一个常数，当定转子开槽后，气隙磁导就会因齿部和槽部的磁导率的巨大差别而产生一系列谐波，从这个角度看，磁导齿谐波与定转子开槽有直接关系，磁导齿谐波是完全取决于电机结构的固有参数。其中因定子不旋转，其开槽引起的磁导谐波只是一些静止不动的空间谐波；而转子是旋转的，其开槽引起的磁导谐波会随转子的旋转而一同旋转，因此磁导谐波即是空间的函数又是时间的函数。再说气隙磁密的齿谐波，它是磁势在气隙磁导上作用的结果，是磁势与气隙磁导调制的结果，即使磁势是纯正弦波，经过磁导齿谐波的调制也会使气隙磁密产生一系列的谐波，因此气隙磁密的齿谐波是定转子开齿槽的间接作用产物，它不仅与电机结构有关，也与电机运行状态有关，是一个状态参数和中间过程参数。其实电机设计制造完成后，客户并不关心气隙磁密的波形如何，而是关心气隙磁密反映在电机最终特性上造成的影响和结果。电势的齿谐波，也就是定义Ⅶ所说的齿谐波，它是气隙磁密在绕组中作用的结果，它与齿槽的关系更是间接的，齿槽对电势齿谐波的影响不会增加齿谐波的次数，只会对主极磁势中与齿槽数相关的某些特定次数起到放大的作用，也就是说定子不开槽时主极磁势有什么次数的谐波，开槽后电势中就会有什么次数的谐波，磁势中没有的谐波次数，开槽后电势中也不会有该磁势的谐波，即定子开槽不会增加或减少电势谐波的次数，开槽只会对(k•Z1/p)±1次齿谐波有强烈的放大作用。由于电势是时间的函数，因此电势齿谐波也仅是时间的函数。关于电势齿谐波，我们在电机绕组(8)和电机绕组(9)中进行过详细的论述，这里不再赘述。本文主要讨论的是磁势齿谐波，也就是定义Ⅵ所说的槽谐波。磁势是一种安匝数的概念，是线圈中的电流乘以匝数，它只与气隙中的安导波分布有关，与气隙磁导没有任何关系，从这个角度讲，磁势与是否开槽没有任何关系。但由于绕组的导体都是被嵌放在槽内的，而槽是离散而不是连续分布在气隙圆周上，而且我们假设线圈的导体都是集中分布在槽口的中心线上，这样就使得安导波不是一个连续的分布函数，而是集中在每个槽口中心线上的离散脉冲函数，由此导致磁势波每经过一个槽口就会发生一次跳变(台阶)，从而使磁势中出现一系列的空间谐波，我们定义这种谐波为槽谐波。从这个角度讲，似乎槽谐波又与齿槽有一定的关系，但设想如果定子不开槽，而线圈的导体仍然是离散地分布在气隙圆周上，那么磁势仍然会产生台阶，磁势中也就仍然存在所谓的槽谐波，由此可见，槽谐波其实与是否开槽没有必然的联系，只是因为导体集中嵌放在槽内，导致安导波不连续而产生的谐波。
我们还是回到线圈导体嵌放在槽内，而且槽内导体集中分布在槽口中心线上这个假设上来，重点分析槽谐波与槽数的关系。
假设气隙圆周(定子或转子)上开有若干个槽，每个槽内的电流相位都不同，也就是说每个槽都是一相，槽数和数学相数相等，这样在任意时刻每个槽内电流大小都是按正弦规律分布。其实前面举例的4极39槽鼠笼转子就属于这种情况，每个槽内导体都是一相，因此我们就继续以此为例，来分析槽谐波和槽数的关系。由于槽数是有限的，每个槽内电流相位都不同，因此任意时刻每个槽内电流大小都是按照正弦规律分布。这样磁势在每个槽口处就跳变一个台阶，台阶的高度按正弦规律变化。也就是说在槽数有限的条件下，这种方式产生的磁势是最接近正弦波的，这种情况下仅存在槽谐波而不会存在相带谐波。如图1即为该鼠笼转子在某一时刻的磁势分布图。其中台阶形曲线为实际的磁势曲线，与理想正弦曲线相比可以明显看到，每次跳变的高度是严格符合正弦规律。
由于这种情况下不存在相带谐波，只存在槽谐波，进一步将图1中的台阶波减去理想正弦基波便得到槽谐波的波形，如图2 b)所示，为了看清槽谐波的形状，单独再把槽谐波进一步放大如图3所示。
进一步分析槽谐波的波形，其斜线部分并非直线，其实仔细想一想就会明白，槽谐波是实际的台阶磁势曲线与理想正弦波曲线的差值，因此斜线其实应该是正弦曲线形状，这点在靠近主波的波峰时表现得尤为明显！
以上分析了槽谐波的产生机理和槽谐波的波形，显然要想减小槽谐波，就必须增加槽数使台阶数量增加，而且使每个台阶的跃升高度更加逼近基波正弦曲线，直至槽数增加到无穷大，这样就完全没有了槽谐波。但在实际电机中，槽数无穷大是不可能的，通常电机中槽数是有限的，因此槽谐波也是永远会存在的。
另外除了电机的槽数不可能很多，电机的相数更不可能很多。以上讨论了每个槽内的电流相位都不相同，即槽数和相数相等，每个槽都是独立一相的情况，在这种情况下没有相带谐波，只有槽谐波。实际电机中不可能有很多相，否则电源系统会非常复杂，也就是说相数总是小于槽数的。这就意味着有相邻的几个槽内电流相位相同，任意时刻这几个槽内的电流大小相等，这就需要引入“相带”的概念。通俗地讲，对几个槽通入相同相位的电流，也就是把几个槽设计成同一个数学相，这样同属一个数学相的槽就组成了一个相带，同一个相带中各槽内的电流相等，因此同一个相带内各槽磁势的跳变台阶高度就相同。本来每个槽中的电流应该具有不同的相位，现在由于物理实现上面的局限而强行变成了相同的电流相位，磁势波形变成了等高度跳变，这就是相带谐波产生的根源！如图4所示，图4a)为上例中在一个极距范围内各槽不同相位时，磁势按正弦规律跳变的情况；图4b)为在一个极距范围内各槽都属于同一相，磁势按等高度跳变的情况。两种情况下的磁势波形对比，显然图4a)按正弦规律跳变的磁势波形更加逼近正弦基波，而图4b)按等高度跳变的阶梯波形偏离基波正弦曲线更大，由此说明图4a)里仅包含了槽谐波，无相带谐波；而图4b)里不仅包含了槽谐波还包括了相带谐波。
如果槽数无穷多，相带数也是无穷多，那么磁势波形就不会有槽谐波，也不会有相带谐波，这是电机中最为理想的电流分布状态！遗憾的是，实际的电机，往往都是槽数有限，而且相带数比槽数更少，因此磁势中就既含有槽谐波又含有相带谐波！
综上所述可以得到以下结论：
① 相带谐波就是电流相位不均布于整个圆周导致的，更准确的说法是，只要相数少于槽数，就必然有相带谐波。
② 槽数无限、相数无限时无谐波。
③ 槽数无限、相数有限时只有相带谐波而无槽谐波。
④ 槽数有限、相数等于槽数时只有槽谐波而无相带谐波。
⑤ 槽数有限、相数小于槽数时即有槽谐波也有相带谐波，这是通常电机最常见的情况。
应该指出的一点是，无论是槽谐波还是相带谐波，其波形都是随时变化的，这点可以这样来理解：因为一个相带占用的空间角度很大从而是突变的，而电流相位却是无限连续的，也就是两者之间无法做到总是相匹配。以上图1～4，是某相电流达到最大值时刻的状态，在其他时刻，磁势波形会有一些变化，从而导致齿谐波和相带谐波也会有稍许的不同。
4 磁势谐波的削弱方法及内在机理
通过以上两篇文章的分析，我们知道了磁势谐波包括相带谐波和槽谐波两种，而且也了解了产生相带谐波和槽谐波的机理。要想削弱磁势谐波，就要从产生这两种谐波的成因入手。
4.1 槽谐波的削弱
如上所述，要想削弱槽谐波就必须增加槽数。其实这就是通过加大绕组的分布来削弱槽谐波的内在本质。当然，增加槽数会带来槽利用率的降低和槽绝缘材料的增加，况且电机的槽数受多种因素制约，不可能无限制地增加；另外增加槽数加大绕组的分布，会在削弱槽谐波的同时也削弱了基波磁势的幅值，因为绕组的槽谐波分布系数与基波分布系数相等。因此槽谐波的削弱是比较困难的，效果也是有限的，而且还会付出一定的代价，我们只能在权衡各方面利弊的情况下，尽量增加槽数，减小槽谐波。
另外我们经常说通过斜槽可以削弱齿谐波，其实通过前面的论述可知，对于某一特定的轴向截面而言，斜槽并不能削弱该位置的槽谐波，只不过是通过使槽谐波的空间相位沿轴向产生一定程度的相位移，这对绕组感应电势中的齿谐波的确会产生非常大的削弱作用。对磁势的槽谐波并无明显的削弱效果。
通常人们津津乐道削弱齿谐波的方法还有采用分数槽，但分数槽对削弱某些次数的齿谐波，也就是电势中的齿谐波的确有着明显效果，关于这一点已在前面电势谐波的相关文章中进行过详述，在此不再赘述。而对于槽谐波，也就是磁势中的谐波就一言难尽了，有关分数槽绕组的磁势谐波问题，将在下一期中详细论述。
4.2 相带谐波的削弱
如前所述，相带谐波是由于相带划分而产生的谐波。要想削弱相带谐波，就必须增加绕组的数学相数，特别是每对极下的数学相数。当然物理相数的增加总是对增加数学相数有利的，但物理相数的增加必然带来电源系统的复杂性，需要付出一定的代价。我们需要重点考虑的是，如何在物理相数一定的情况下尽量增加数学相数，这样代价会小很多。例如如何在最常见的三相绕组基础上增加数学相数。双层短距绕组就是一种最好的措施，没有之一！
前面我们重点对单层绕组的相带谐波进行了分析。对于双层绕组，可以把上下两层导体分别看做两个独立的单层绕组。如果是双层整距绕组，则同一槽中的上下层导体均属同一相，这种情况的相带和数学相数与单层绕组的情况相同，如图5所示。可见三相60º相带绕组每对极共有六个相带，即数学相数为6。
若绕组为双层短距绕组，则意味着上下层所分别表示的两个单层绕组错开了一定的短距角，短距不同错开的角度就不同，如图6所示。
图6a)表示短一个槽时槽内导体的分布情况，此时有些槽内上下层导体属于同一相，而有些槽内上下层导体属于不同的相，上下层导体属于同一相的槽安导数为两个导体安导之和，即为一层导体安导数的2倍，而上下层导体属于不同相的槽内安导数为两相导体安导之代数和。这样就使得磁势在经过不同槽时跳变的高度不同，相当于数学相数或相带数就比单层绕组或双层整距绕组变多了，从而实现了同样的物理相数却增多了数学相数或相带数的目的。由图6不难看出，双层短距后每对极的数学相数较单层绕组增加了一倍。图6b)示出了不同短距时上下层导体错开的角度，通过不同的短距，可以实现不同数学相的相带宽度，从而实现削弱不同次数的相带谐波。如果所短的距离正好是某次相带谐波的半个波长，则可以完全消除该次谐波。这就是短距绕组削弱相带谐波的内在机理。通常三相绕组设计时为了同时削弱5次和7次相带谐波，常采用5/6短距设计。
如图7所示为三相双层短距绕组的合成磁势，显然合成磁势台阶跳变高度的数目比单层绕组多出了一倍，说明短距增多了数学相数。
以上通过两篇文章，我们详细论述了绕组磁势的相带谐波和槽谐波。在本文的写作过程中，参考了西莫电机论坛里第二期研讨会——气隙磁场专题的有关帖子，采纳了其中一些网友的观点，特别是曾晓东老师的许多观点和论述，对本文贡献很大，而且文中部分图片也截自他所贴出的图片，在此对这些文献的原作者表示衷心感谢！本期内容就到这里，下期讲分数槽绕组的磁势，敬请期待！
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