0.9循环等于1吗？

小K算法

发布于 2021-05-31 11:18:20

1.3K0

发布于 2021-05-31 11:18:20

文章被收录于专栏：小K算法

0.\dot{9}=1

吗？看似一个简单的问题，但不一定能讲出为什么，今天我们来尝试用科学的姿势研究一下。内容不难，主要是分享怎么用数学语言去描述问题的本质。

普通青年： 小学问题，别来烦我，你数学是体育老师教的？设

x=0.\dot{9}

，则

10x-x=9

，进而

x=1

。 文艺青年： 数轴是连续的，如果

0.\dot{9}\neq 1

，则存在一个数

x,0.\dot{9}< x < 1

，但我也找不到这个

啊，好烦呀。 2B青年： 因为

0.\dot{3}=\frac{1}{3}

，所以

0.\dot{3}\times 3=0.\dot{9}=\frac{1}{3}\times 3=1

。好像也很有道理呀，我竟五体投地。

热身完成，进入正题，先来复习一下高等数学相关的知识吧！

数学符号含义

\forall

：对于任意给定的，

\exists

：存在

1.数列定义

按照某一法则，对每个

n\in N_+

，对应一个确定的实数

x_n

，所有

x_n

按下标

从小到大排列得到一个序列

x_1,x_2,x_3,\cdots,x_n,\cdots

称此为数列，简记为数列

\{x_n\}

。每一个数叫做数列的项，第

项

x_n

叫做数列的一般项(通项)。

2.数列极限定义

设

\{x_n\}

为一数列，如果

\exists a, \forall \epsilon

(不论多小)，总存在正整数

，使得当

n>N

时，不等式

|x_n-a|<\epsilon

都成立，则称常数

是数列

\{x_n\}

的极限，或者称数列

\{x_n\}

收敛于

，记为

\lim\limits_{n\to\infty} x_n=a

，或

x_n \rightarrow a(n \rightarrow \infty)

。如果不存在这样的常数

，就说数列

\{x_n\}

没有极限，或者说数列

\{x_n\}

是发散的。 几何含义如下：

3.证明

设数列

\{x_n\},x_n=1-10^{-n}

，即数列为

0.9,0.99,0.999,\cdots,0.\dot{9},\cdots

|x_n-1|=10^{-n}

，

\forall \epsilon>0

，为了使

|x_n-1|<\epsilon

，只要

10^{-n}<\epsilon

取对数得

\lg 10^{-n}<\lg \epsilon

，即

n>-\lg \epsilon

，

而

-\lg \epsilon

是一个确定的实数，对于任何一个实数都有无穷多个大于它的正整数存在，所以任取一个大于

-\lg \epsilon

的正整数作为

，则当

n>N

时，就有

|x_n-1|<\epsilon

，即

\lim\limits_{n\to\infty} 1-10^{-n}=0.\dot{9}=1

说人话，数列的极限是

，或者说数列收敛于

。

参考文献

《高等数学》，同济大学数学系编，高等教育出版社，1978；

本文参与腾讯云自媒体同步曝光计划，分享自微信公众号。

原始发表：2020-12-25，如有侵权请联系 cloudcommunity@tencent.com 删除

本文分享自小K算法微信公众号，前往查看

如有侵权，请联系 cloudcommunity@tencent.com 删除。

本文参与腾讯云自媒体同步曝光计划，欢迎热爱写作的你一起参与！

登录后参与评论

0 条评论

热度