题意:
平面上有N个两两没有公共点的圆,i号圆的圆心在(xi,yi),半径为rir_i。求所有最外层的,不被任何圆包含的圆。
此题还给了一个条件,任何两圆都没有公共点,所以要么是包含关系,要么相离,不存在相交的情况。
所以朴素的做法是枚举,而判断一个圆是否包含另一个圆的方法,只需要考虑两个圆心的距离是否小于等于大圆的半径即可。时间复杂度为O(n^2)。
此题还可以更快,采用记忆化手段,把先前的访问的信息记录下来,但记录什么样的信息需要考究下。
既然是扫描,我们能够想到的是从左至右按x轴方向以铅垂线的方式扫,对于平面中的这些圆,相对顺序与答案无关,所以不妨按照x轴排个序再思考问题。
考虑两个圆的情况,无非两种情况,要么相离,要么包含,如果包含,答案只可能是最左侧的圆。
考虑三个的情况,如果两个圆被一个大圆包含,如下:
那么根据扫描算法,大圆一定最先被检测到,记录之,而第二圆是左侧的小圆,是否要记录下来呢?其实它被一个更大的圆所包含,所以对于第三个圆来说,该圆是冗余的,它的信息完全无用,所以可以直接忽略。
如果还不够形象,继续看图:
对于第三个圆,如果都在大圆内部,只会出现上述两种情况,但不管上述哪两种情况,第二个圆对于第三个圆来说都是无用的,有一个更大的圆包含着它。
于是,在记录信息时,如果一个圆被更大的圆包含时,则完全不需要把此圆记录下来,相反没有被包含时,则需记录。
那么如何确定这些最外圆的集合,当前圆跟最外圆集合中的哪几个比较呢?
答案是根据圆心的y坐标排序,选取最外圆集合中最靠近当前圆心的上圆和下圆,为什么咧?
反证法,假设有更远的圆存在,那么近圆一定被这更远的圆所包含,那么自然不会出现在最外圆集合中,推出矛盾,得证。不过这玩意只能靠证明理解么。。。好像是不太直观,但有这思路就行。
或者参考《挑战》吧:
所以每个圆最多只会跟集合中的两个圆比较,省去大量的冗余比较,高明啊。
扫描的话,考虑极限情况,每个圆构造两条直线,圆的最左端和最右端,好了,看看代码吧。
代码如下:
import java.io.BufferedReader;
import java.io.File;
import java.io.FileInputStream;
import java.io.IOException;
import java.io.InputStream;
import java.io.InputStreamReader;
import java.io.PrintWriter;
import java.util.ArrayList;
import java.util.Arrays;
import java.util.Collections;
import java.util.List;
import java.util.StringTokenizer;
import java.util.TreeSet;
public class Main{
String INPUT = "./data/judge/201709/P2932.txt";
public static void main(String[] args) throws IOException {
new Main().run();
}
static final int MAX_N = 40000 + 16;
class E implements Comparable<E>{
double x;
int id;
E(double x, int id){
this.x = x;
this.id = id;
}
@Override
public int compareTo(E o) {
return Double.compare(x, o.x);
}
@Override
public boolean equals(Object obj) {
return compareTo((E)(obj)) == 0;
}
}
class C{
double x;
double y;
double r;
C(double r, double x, double y){
this.x = x;
this.y = y;
this.r = r;
}
}
int N;
C[] cs = new C[MAX_N];
E[] xs = new E[2 * MAX_N];
// j 是否包含于 i
boolean inside(int i, int j) {
double dx = cs[i].x - cs[j].x;
double dy = cs[i].y - cs[j].y;
return dx * dx + dy * dy <= cs[i].r * cs[i].r;
}
void solve() {
for (int i = 0; i < N; ++i) {
C c = cs[i];
xs[2 * i] = new E(c.x - c.r, i);
xs[2 * i + 1] = new E(c.x + c.r, i + N);
}
Arrays.sort(xs, 0, 2 * N);
TreeSet<E> set = new TreeSet<E>();
List<Integer> ans = new ArrayList<Integer>();
for (int i = 0; i < 2 * N; ++i) {
E e = xs[i];
int id = e.id % N;
E crtC = new E(cs[id].y, id);
if (e.id < N) {
E up = set.ceiling(crtC);
E dn = set.floor(crtC);
if (up != null && inside(up.id, id)) continue;
if (dn != null && inside(dn.id, id)) continue;
ans.add(id);
set.add(crtC);
}
else {
set.remove(crtC);
}
}
Collections.sort(ans);
out.println(ans.size());
for (int i = 0; i < ans.size(); ++i) {
out.print((ans.get(i) + 1) + (i + 1 == ans.size() ? "\n" : " "));
}
}
void read() {
N = ni();
for (int i = 0; i < N; ++i) {
cs[i] = new C(nd(), nd(), nd());
}
solve();
}
FastScanner in;
PrintWriter out;
void run() throws IOException {
boolean oj;
try {
oj = ! System.getProperty("user.dir").equals("F:\\java_workspace\\leetcode");
} catch (Exception e) {
oj = System.getProperty("ONLINE_JUDGE") != null;
}
InputStream is = oj ? System.in : new FileInputStream(new File(INPUT));
in = new FastScanner(is);
out = new PrintWriter(System.out);
long s = System.currentTimeMillis();
read();
out.flush();
if (!oj){
System.out.println("[" + (System.currentTimeMillis() - s) + "ms]");
}
}
public boolean more(){
return in.hasNext();
}
public int ni(){
return in.nextInt();
}
public long nl(){
return in.nextLong();
}
public double nd(){
return in.nextDouble();
}
public String ns(){
return in.nextString();
}
public char nc(){
return in.nextChar();
}
class FastScanner {
BufferedReader br;
StringTokenizer st;
boolean hasNext;
public FastScanner(InputStream is) throws IOException {
br = new BufferedReader(new InputStreamReader(is));
hasNext = true;
}
public String nextToken() {
while (st == null || !st.hasMoreTokens()) {
try {
st = new StringTokenizer(br.readLine());
} catch (Exception e) {
hasNext = false;
return "##";
}
}
return st.nextToken();
}
String next = null;
public boolean hasNext(){
next = nextToken();
return hasNext;
}
public int nextInt() {
if (next == null){
hasNext();
}
String more = next;
next = null;
return Integer.parseInt(more);
}
public long nextLong() {
if (next == null){
hasNext();
}
String more = next;
next = null;
return Long.parseLong(more);
}
public double nextDouble() {
if (next == null){
hasNext();
}
String more = next;
next = null;
return Double.parseDouble(more);
}
public String nextString(){
if (next == null){
hasNext();
}
String more = next;
next = null;
return more;
}
public char nextChar(){
if (next == null){
hasNext();
}
String more = next;
next = null;
return more.charAt(0);
}
}
}