滤波器的 Q 值，QQ弹弹

实际上呢，这个锁相放大器本质上是一个等效滤波器（也可以这样说），只是 Q 值巨大；说起了 Q 值，Quality Factor，品质因数/品质因子）是一个用于评估谐振系统、电感、电容或滤波器等组件质量的无量纲物理量；它代表系统存储能量与每周损耗能量之比，Q值越高，能量损耗越少，系统谐振特性越尖锐，选择性越好。

总之就是一个这样的值

总之就是一个这样的值

如果两个人同时设计了一个滤波器，就看 ta 的 Q 值咋样就行；我翻了翻文章，好像没有写过，那整一个！

QQ弹弹

滤波器的 Q 值，也叫 品质因数，本质上是在描述一个滤波器或谐振系统：（当然人类的本质上复读机）

选频有多尖锐

或者说：

中心频率附近的带宽有多窄

也可以这样说：Q 等于信号中心频率除以半功率点处的带宽，用来描述滤波器带宽的窄宽。

最常用定义

对于带通滤波器（也可以叫通带，我喜欢这个名字）：

其中：

是中心频率，也就是滤波器最想保留的频率；

是带宽；

是 -3 dB 频率点，也叫半功率点。

所以：

中心频率带宽

假设中心频率是：

如果滤波器带宽是：

那么：

如果带宽是：

那么：

所以 Q 越大，带宽越窄：

也就是越“挑频率”，（有感觉了吧～）。

这个低 Q 滤波器像一个宽山包，高 Q 滤波器像一根尖峰：说到底高 Q 的意思就是：

只有非常靠近的频率能通过

远离 的频率会被强烈衰减。

-3 dB 带宽是什么意思？

朋友，有没有感觉模拟电路里面到处是带宽？

滤波器中心频率处增益最大，记为：

在两侧频率上，当增益下降到：

也就是功率下降到一半时，对应的两个频率叫：

因为：

所以它们叫 -3 dB 点。

带宽就是：

举个例子

一个带通滤波器：

-3 dB 下限：

-3 dB 上限：

那么：

这个滤波器的 Q 是 10。

如果另一个滤波器：

那么：

这个滤波器更窄、更尖锐。

（这里说回锁相放大器）

Q 值和锁相放大器的关系

在锁相放大器里，目标信号可能是：

普通模拟带通滤波器如果：

则带宽是：

它只能把噪声压到 400 Hz 带宽里；但相敏检波 + 低通积分，相当于只保留一个极窄频带，例如等效：

则：

这时噪声带宽小很多，所以微弱信号更容易被提取出来，所以锁相放大器的滤波器等效，说的就是差不多这个。

（一般来说呢，事情是两面性的）

Q 值高有什么好处？

高 Q 的好处是：

选择性强

比如只想测 40 kHz，那么高 Q 滤波器会尽量只留下 40 kHz 附近的东西，其他频率都不要，对于噪声来说，带宽越窄，进入系统的总噪声越小：

如果噪声密度不变，那么：

所以 Q 越高，带宽越窄，总噪声越低。

坏处呢？

高 Q 也不是越高越好，高 Q 的代价是：

响应变慢

因为带宽越窄，系统需要更长时间来判断一个频率成分是否存在，大致可以理解为：

带宽越窄，平均时间越长

如：

意味着系统响应时间大概是：

如果带宽进一步变成：

响应可能就是秒级甚至十秒级，所以高 Q 是用时间换噪声抑制。

Q 值和阻尼的关系

在二阶系统里，Q 和阻尼比 有关系：

如果阻尼大：

那么：

系统不容易振铃，但选频不尖锐。

如果阻尼小：

那么：

系统选频尖锐，但容易振铃，然后典型二阶低通传递函数可以写成：

这里 控制极点的阻尼程度。

（Q 值的定义存在每一个有能量和消耗的地方），所以Q 值在 RLC 谐振电路也有意义，对于串联 RLC 电路，谐振频率是：

Q 值可以写成：

也可以写成：

这里 是损耗；如果 很小，损耗小，Q 高；如果 很大，损耗大，Q 低；所以在谐振系统里，Q 也可以理解为：

储能能力与损耗能力的比值

更物理地说：

系统储存能量每周期损耗能量

所以高 Q 谐振器能量损耗小，振荡保持得久，频率选择性强。

其实在滤波器里面，带通滤波器是比较有意思的讨论，因为它是两个滤波器组合的，如果中心频率固定：

那么：

可以直接看出来：

另外，需要注意一点是 Q 也不是所有滤波器都最常用，Q 值最常用于：

带通滤波器

对于普通一阶 RC 低通，例如：

一般不说 Q 值，因为它不是二阶谐振系统，没有中心频率和尖锐峰值。

对于一阶低通，我们更常说：

也就是截止频率。

还有噪声的事情？

Q 值和噪声也是有关系的，可以假设输入噪声密度是：

如果滤波器带宽是：

噪声 RMS 约为：

如果带宽是：

噪声 RMS 约为：

所以带宽从 400 Hz 降到 4 Hz，噪声降低：

这就是为什么高 Q 对微弱信号测量有用。

Q 值和滤波器阶数有关系吗？

有些人会混淆：

和：

阶数

其中这个滤波器阶数描述滚降速度。

例如二阶低通高频衰减大约：

四阶低通大约：

而 Q 描述二阶极点的尖锐程度、阻尼程度、带宽，所以：阶数只决定滚降速度

那怎么选 Q？

如果要做普通信号调理，不想要振铃，一般不要太高 Q；但是如果要做单频检测、谐振检测、锁相检测，可以使用较高 Q 或等效高 Q。

粗略理解：

阻尼很大，响应钝，没有明显峰值。

常见 Butterworth 二阶滤波器，幅频响应平坦。

开始有明显选择性和峰化。

窄带谐振/高选择性滤波。

小结

总之啊滤波器的 Q 值就是：

它表示滤波器围绕中心频率 的选择性有多强。

越大，带宽越窄，选频越强，噪声越少，但响应越慢、更容易振铃、更怕频率漂移。

而在锁相放大器里，高等效 Q 的本质就是：只在极窄频带里寻找和参考信号同步的成分，从而把大量不相关噪声平均掉。

看看仿真

这次用的带通滤波器模型是：

其中：

Band-pass filter Q and -3 dB bandwidth
Q      theoretical BW/Hz     f1/Hz       f2/Hz       scanned BW/Hz
5               8000.00    36262.25    44193.35          7931.10
20              2000.00    39054.23    40956.01          1901.78
100              400.00    39804.11    40184.43           380.32

也就是说：

所以 Q 越高，频率响应越尖，只允许更窄的频带通过。

这个图展示的是频率响应，可以看到三个滤波器都以：

为中心，但是：

曲线很宽；

明显变窄；

已经变成很尖的窄带滤波器。

这对应：

展示的是时域振铃，高 Q 的滤波器虽然选频强，但是时域响应会拖得更长，也就是：

带宽变窄响应变慢振铃变长

所以高 Q 不是免费提高性能，它是用时间响应换频率选择性。

这张图展示的是噪声抑制，假设输入噪声密度是：

滤波后的总噪声近似为：

而：

所以：

因此：

这就是高 Q 能从噪声里提取小信号的原因。

后面三张图是把一个：

的小信号埋在：

噪声里，然后分别用：

的带通滤波器处理。

结果很直观：

输出里还残留较多噪声；

噪声明显减少；

只剩下更窄的 40 kHz 附近成分，但波形响应更慢、更“拖”。

完结🎉

越大，滤波器越窄，噪声越少，但响应越慢，振铃越明显。

锁相放大器的优势，不是做一个普通模拟高 Q 带通，而是通过：

乘参考低通积分

实现了一个非常高的等效 Q。