【25软考网工笔记】第二章 数据通信基础（1）信道特性 奈奎斯特 香农定理

一、信道特性

1. 数据通信概念

1）通信系统的基本元素

        通信目的: 传递信息。

        信源: 产生和发送信息的一端，即信息发送的源头。

        信宿: 接收信息的一端，即信息的目的地。

        信道: 信源和信宿之间的通信线路，用于传输信息。

        信号变换: 信源产生的信号可能是连续的模拟信号，需进行模数转换，变成离散的数字信号，以便数字信道传送。例如，声音是连续的模拟信号，而电脑处理的零一信号是数字信号。

        噪声: 信道中存在的外界干扰，会影响信息的传输质量。

2）信号类型

        模拟信号: 连续的、平滑变化的信号，如声波。

        数字信号: 离散的、不连续的信号，如电脑处理的零一信号，典型的方波用高电平表示1，低电平表示0。

2. 信道带宽W

1）信道带宽的定义

        模拟信道带宽: 模拟信道的带宽W等于信道能通过的最高频率f2与最低频率f1​的差，即W=f2−f1，单位是赫兹（Hz）。例如，若某模拟信道能通过的频率范围是8MHz到18MHz，则其带宽为18−8=10MHz。

        数字信道带宽: 数字信道的带宽是信道能够达到的最大数据传输速率，单位是比特每秒（bit/s）。例如，若某数字信道的最大数据传输速率为100Mbit/s，则其带宽为100Mbit/s。

2）重点与考点

• 重点: 模拟信道和数字信道带宽的定义及计算方法。
• 考点: 模拟信道带宽的计算，即给定频率范围，能够正确计算出带宽。

3. 码元和码元速率

1）码元

        定义: 一个数字脉冲称为一个码元，可以理解为时钟周期的信号。

类比: 可以将码元理解成一个包裹，用于携带信息。

2）码元速率

        定义: 单位时间内信道传送的码元个数。

        公式: 码元速率（波特率）B=1/T，其中T为码元宽度（脉冲周期），单位是波特Baud。

        类比: 码元速率类似于一秒内传送的包裹数量。

3）码元携带的信息量

        关系: 一个码元携带的信息量n(位)与码元种类数N的关系为n=log⁡2N。

        解释: 这意味着码元能携带的信息量与其种类数成对数关系。

        特例:

                使用QPSK调制时，N=4，则n=2。

                使用DPSK或BPSK调制时，N=2，则n=1。

4）注意事项

• 码元速率与码元宽度的关系类似于频率与周期的关系，互为倒数。
• 码元携带的信息量由调制技术决定，不同的调制技术会导致不同的N值，从而影响n的大小。
• QPSK调制是一个常见的特例，考试中经常出现，需要特别记住此时N=4，n=2。

4. 奈奎斯特定理

1）奈奎斯特定理概述

        奈奎斯特定理定义: 奈奎斯特定理描述了在一个理想的（没有噪声环境）信道中，信道带宽与最大码元速率以及极限数据速率之间的关系。

2）最大码元速率公式

        公式:B = 2W(Baud）= 2(f2-f1)，其中W表示信道带宽。

        解释: 在理想信道中，最大码元速率B是信道带宽W的两倍。

3）极限数据速率公式

公式 : R = Blog⁡2N = 2Wlog⁡2N，其中R表示极限数据速率，B表示码元速率，N表示码元种类数。

解释: 极限数据速率R等于码元速率B乘以每个码元携带的数据量（以比特为单位），而码元速率B又等于2W，因此极限数据速率也可以表示为2Wlog⁡2N

4）公式中字母的含义

• R: 极限数据速率，表示信道理论上能达到的最大数据传输速度。
• B: 码元速率，表示每秒发送的码元个数。
• N: 码元种类数，表示信道中可能使用的不同码元的数量。
• W: 信道带宽，表示信道能够传输的频率范围。

5）数据速率与包裹重量的类比

        类比: 每秒发送的包裹重量等于每个包裹的重量乘以每秒发送包裹的个数。

        解释: 在这个类比中，每秒发送的包裹重量相当于数据速率，每个包裹的重量相当于每个码元携带的数据量（log⁡2N），每秒发送包裹的个数相当于码元速率（B或2W）。通过这个类比，可以更容易地理解数据速率、码元速率和码元种类数之间的关系。

5. 香农定理

1）香农定理概述与极限速率公式

        香农定理概述: 香农定理用于计算在有噪声的信道中，极限数据速率和带宽之间的关系。

        极限速率公式: C = Wlog⁡2(1+S/N)，其中W为带宽，S为信号平均功率，N为噪声平均功率，S/N为信噪比。

2）信噪比与分贝的关系及转换

        分贝与信噪比关系: dB = 10log⁡10S/N，用于将分贝值转换为信噪比。

        转换方法: 例如，当dB=30时，通过公式转换得到S/N=1000。

3）例题1：计算极限速率

题目解析

• 审题过程: 题目给出带宽W和信噪比dB值，要求计算极限速率C。
• 解题思路: 首先，将dB值转换为信噪比S/N；然后，将S/N和W代入极限速率公式进行计算。
• 计算过程: 假设W=10M，dB=30，则S/N=1000。代入公式 C = Wlog⁡2(1 + S/N)，得到C = 10M × log⁡2(1+1000) ≈ 100M比特每秒。
• 答案: 极限速率C约为100M比特每秒。
• 易错点: 注意dB值不能直接代入公式，必须先转换为信噪比S/N。

6. 带宽/码元速率/数据速率关系梳理

1）带宽的计算

        模拟信道带宽:W = f2 − f1​，其中f2是最高频率，f1是最低频率。

        数字信道带宽: 取决于最高速率调制技术。

2）无噪声环境下的极限速率

奈奎斯特定理:

        码元速率:B = 2W（波特，Baud）。

        极限数据速率:R = Blog⁡2N，其中N是码元种类数，由调制技术决定。

        调制技术: ASK/FSK/PSK等，特殊地，QPSK的N=4，DPSK和BPSK的N=2。

3）有噪声环境下的极限速率

香农定理:

        C = Wlog⁡2(1 + SN)，其中C是极限数据速率（bps），S是信号平均功率，N是噪声平均功率。

注意事项:

        考试中，S/N可能不会直接给出，而是给出分贝值（dB），需要掌握分贝与S/N 之间的转换公式dB = 10log⁡10S/N。

4）学习建议

• 理解核心公式: 理解并记住带宽、码元速率、数据速率之间的关系公式，以及香农定理和奈奎斯特定理。
• 做题加强理解: 通过做题来加深对知识点的理解和记忆，特别是要学会应用公式解决实际问题。
• 注意转换公式: 注意分贝与S/N之间的转换公式，这是考试中可能遇到的重要考点。

7. 误码率

        定义: 误码率表示传输二进制位时出现差错的概率。

        公式:Pc = Ne / N，其中Ne表示出错的位数，N表示总位数。

        标准: 在计算机通信网络中，误码率一般要求低于10−6（十的负六次方），即平均每传送1兆位（100万位）才允许错1位。

8. 应用案例

1）例题

题目解析

  题目:传输信道频率范围为10∼16MHz，采用QPSK调制，支持的最大速率为多少Mbps？

  审题过程: 题目给出了信道的频率范围、调制方式，要求计算最大速率。

 解题思路:

• 使用奈奎斯特定理 R=Blog⁡2N，其中B是带宽，N是调制阶数。
• QPSK调制中，N=4。
• 带宽B=16−10=6MHz。

计算过程:

        R=2×6×log⁡24=2×6×2=24Mbps

答案: C.24

易错点: 注意带宽的计算是频率上限减去频率下限，且QPSK调制中N=4。

2）例题

题目解析

  题目: 设信号的波特率为1000Baud，信道支持的最大数据速率为2000b/s，则信道用的调制技术为？

  审题过程: 题目给出了波特率和最大数据速率，要求推断调制技术。

 解题思路:

• 使用奈奎斯特定理反推调制阶数N。
• 已知R=2000b/s，B=1000Baud。

 计算过程:

        R = Blog⁡2N ⇒ 2000 = 1000log⁡2N ⇒ log⁡2N =2 ⇒ N = 4

        答案: B. QPSK

        易错点: 注意波特率与数据速率的区别，以及奈奎斯特定理的应用

3）例题

题目解析

 题目: 某信道带宽为1MHz，采用4幅度8相位调制，最大可以组成多少种码元？若码元宽度为10微秒，则数据速率为多少kb/s？

 审题过程: 题目给出了信道带宽、调制方式、码元宽度，要求计算码元种类和数据速率。

 解题思路:

• 4幅度8相位调制最大可以组成4×8=32种码元。
• 码元速率等于码元宽度的倒数，即1/10μs=105Baud。
• 数据速率使用奈奎斯特定理计算，R=Blog⁡2N。

        计算过程:

• 码元种类：32种。
• 数据速率：R = 10^5 × log⁡2 32 = 10^5 × 5 = 500kb/s

        答案: (14)D, (15)C

        易错点: 注意码元速率与数据速率的区别，以及调制方式决定码元种类的计算。

4）例题

题目解析

  题目: 电话信道频率为0∼4kHz，信噪比为30dB，则信道容量为多少kb/s？要达到此容量，至少需要多少个信号状态？

审题过程: 题目给出了信道频率、信噪比，要求计算信道容量和信号状态数。

 解题思路:

•  使用香农定理计算信道容量C = Wlog⁡2(1 + S/N)。信噪比转换为比值10log⁡10 S/N = 30 ⇒ S/N = 1000。
• 要达到信道容量，需使奈奎斯特定理计算的结果与香农定理相等，反推信号状态数N。

        计算过程:

• 信道容量：C = 4×10^3 × log⁡2(1+1000) ≈ 40kb/s
• 信号状态数：R = Blog⁡2N = 2Wlog⁡2N = 40 × 10^3 ⇒ N = 32

        答案: (12)C, (13)D

        易错点: 注意信噪比的转换和香农定理、奈奎斯特定理的综合应用。

5）例题

题目解析

 题目: 在异步传输中，1位起始位，7位数据位，2位停止位，1位校验位，每秒传输200字符，采用曼彻斯特编码，有效数据速率和最大波特率分别是多少？

 审题过程: 题目给出了异步传输的字符格式、每秒传输字符数、编码方式，要求计算有效数据速率和最大波特率。

解题思路:

• 每个字符的总位数为1+7+2+1=11位。
• 每秒传输的总位数为200×11=2200bit/s。
• 有效数据速率为总数据速率乘以数据位占比，即2200×7/11。
• 曼彻斯特编码中，波特率等于数据速率的2倍。

        计算过程:

• 有效数据速率：1.4kb/s
• 最大波特率：4400Baud

        答案: (13)B, (14)D

        易错点: 注意异步传输中字符格式的计算和曼彻斯特编码波特率的特性。

6）例题

题目解析

题目: 以下调制中，调制效率最高的是哪一种？

   审题过程: 题目给出了几种调制方式，要求判断哪种调制效率最高。

解题思路:

• 调制效率与调制阶数N相关，N越大，调制效率越高。
• 比较各调制方式的N值。

        答案: D. 64-QAM

        易错点: 注意调制效率与调制阶数的关系，以及不同调制方式的阶数。

7）例题

题目解析

 题目: 某信道最高的码元速率为10000码元/秒，采用振幅调制将码元的振幅划分为64个不同等级，则该信道可以获得的最大数据速率为多少？

审题过程: 题目给出了码元速率、调制方式，要求计算最大数据速率。

    解题思路:

• 使用奈奎斯特定理R=Blog⁡2N。
• 码元速率即带宽B，振幅调制等级数即调制阶数N。

        计算过程:

        R=10000×log⁡264=60000b/s

        答案: A. 60000

        易错点: 注意码元速率与带宽的等价性，以及振幅调制等级数与调制阶数的关系。

二、知识小结