信号链中常见指标：RMS 噪音（YUNSWJ 推导版）

RMS 噪声（root-mean-square noise）= 噪声电压（或电流）的均方根值，是“噪声能量”的标量度量，用来和信号幅度一起算 SNR/ENOB。

看一个真实的手册：

ADS128x

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频域角度：把功率谱密度（PSD，单位 V²/Hz；常见的是电压噪声谱密度 NSD，单位 V/√Hz）在有效带宽内积分，再开根号：

其中 是链路到测量节点的增益平方， 是输入处的 PSD。

好玩的来了

上面的公式是我们之前的文章里面没有出现的；我们常用的噪声表征方式有两种：

功率谱密度 (PSD, Power Spectral Density)：单位 ，表示单位带宽内的噪声功率。

电压噪声谱密度 (NSD, Noise Spectral Density)：单位 ，更直观（因为电压是 RMS 的平方根）。

再看公式

：总等效噪声电压（均方根值）。

：系统/信号链的增益传递函数的模平方；如果是一个低通滤波器，它会在通带传递噪声，在阻带抑制噪声。

：输入端的功率谱密度（PSD），即每 Hz 的噪声功率。

积分：在有效带宽内把噪声谱加起来。

开方：因为我们要的是电压的 RMS 值，而不是功率。

就像把“每 Hz 的噪声”按滤波器权重叠加，得到总的等效噪声。

如果 是常数（白噪声，NSD = 常数），那么 RMS 噪声就与滤波器的等效噪声带宽 (ENBW) 成正比：

ENBW = ，比–3 dB 带宽稍大。

详细推导

输入是零均值、广义平稳的噪声 ，自相关 ，功率谱密度（单边）为 （单位 V/Hz）。

系统是 LTI，冲激响应 ，频率响应 ，输出噪声 。

输出功率谱密度

利用卷积与傅里叶变换的性质，或者用 Wiener–Khinchin 定理 与 LTI 系统对自相关/功率谱的变换，可得

解释：LTI 系统对功率谱的作用，就是把输入 PSD 乘以系统增益平方。

输出均方值（方差）

对零均值平稳过程，均方值（方差）等于功率谱对频率的积分（单边 PSD 下从 0 到 ）：

把上一步的 代入：

RMS 值就是均方值的平方根，因此

单边 vs 双边 PSD

单边：积分 ，单位 V/Hz（常见于仪表与数据手册）。

双边：积分 ，若把频率换成角频率 ，公式变为

若给的是电压噪声谱密度 NSD（单位 V/√Hz），则 。

白噪声的特例（等效噪声带宽 ENBW）若输入为白噪声（NSD 常数），则

如一阶 RC 低通 ，

所以 。

整体意思是把“每 Hz 的噪声功率” 经过滤波器的“通过系数” 加权后积分求和，得到输出的总噪声功率；再开平方得到电压的 RMS 噪声。 大致来说就是之前的结论：带宽越宽/通带越平坦，积分面积越大，RMS 噪声越高；带宽收窄或阻带滚降更陡，则噪声减小；所以在信号链设计里，带宽和噪声总量是直接挂钩的。

仿真

设一个白噪声源 (NSD=10 nV/√Hz)，经过不同带宽低通滤波器，算出并画出 RMS 噪声随带宽变化的曲线：

RMS 噪声随截止频率 fc 的变化曲线

RMS 噪声随截止频率 fc 的变化曲线

fc =      100 Hz -> ENBW ≈      157.1 Hz, Vrms ≈  0.125 µV
fc =     1000 Hz -> ENBW ≈     1570.8 Hz, Vrms ≈  0.396 µV
fc =    10000 Hz -> ENBW ≈    15708.0 Hz, Vrms ≈  1.253 µV
fc =   100000 Hz -> ENBW ≈   157079.6 Hz, Vrms ≈  3.963 µV
fc =  1000000 Hz -> ENBW ≈  1570796.3 Hz, Vrms ≈ 12.533 µV

实线：解析解（ENBW = ·fc）

虚线：数值积分校验（与解析解几乎重合）

结论非常直观：RMS 噪声 ∝ √带宽。一阶低通的等效噪声带宽 (ENBW) 为 ·fc，所以

给了几个参考点（单位：µV RMS）：

fc = 100 Hz → ENBW ≈ 157.1 Hz → 0.125 µV

fc = 1 kHz → ENBW ≈ 1.57 kHz → 0.396 µV

fc = 10 kHz → ENBW ≈ 15.7 kHz → 1.253 µV

fc = 100 kHz → ENBW ≈ 157 kHz → 3.963 µV

fc = 1 MHz → ENBW ≈ 1.57 MHz → 12.533 µV

窄带的优势又出现了。。。。

多级噪声源（互不相关）：功率相加

把每一级在同一参考点（统一到输入或输出）上的 RMS 噪声平方后相加，再开根号：

带宽与采样建立（和之前文章一致） 为满足 位，采样窗 的一阶建立要求带来“最小缓冲带宽”近似：

20 位、、 ns 时，得 ≈75 MHz（文档的数据）。

图五

图五

增益级：19 nV/√Hz @ NBW≈6.3 MHz

缓冲级：2 nV/√Hz @ NBW≈110 MHz

ADC：16.8 nV/√Hz @ NBW=7.5 MHz 用 并按功率求和，得到整链

与文中“整链 ~68 µV、SNR≈92–93 dB”的量级一致。

最小 RMS 量化误差：离散码时不可避免的问题-这个是量化误差，不是 RMS 噪音

RMS 噪声：根据系统带宽和噪声密度计算

RMS 噪声：噪声对信号的“功率影响”

这俩篇呢，我是五月份写的，感觉问题都不大。。。但是重合度还挺高，这次的信号链频繁的出现这个，所以又再写一下。