进一步理解迭代扩展卡尔曼滤波 (IEKF)

用户2423478

发布于 2025-10-28 12:44:37

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1. 概述

迭代扩展卡尔曼滤波IEKF（Iterated Extended Kalman Filter）是扩展卡尔曼滤波（EKF）的一种改进算法，主要用于解决非线性系统的状态估计问题。可以把它理解为EKF的“精益求精”版本，EKF只做一次线性化和更新，而IEKF则在这个更新步骤上反复迭代，每次迭代都基于一个新的、更准确的估计点重新进行线性化，直到收敛。

它的核心思想非常直观，既然EKF因为只在单个点（先验估计点）线性化而引入误差，那就在多个点上进行线性化，通过迭代来逼近真实状态，从而减少线性化误差。

2. IEKF 的原理

IEKF与EKF使用相同的预测步骤，主要的区别和改进在于更新步骤。

核心原理

问题：EKF在更新时，是在先验状态估计 x^k−处对观测方程 h(xk) 进行线性化（计算雅可比矩阵 Hj）。如果系统的非线性很强，这个点的线性化可能会非常不准确，导致后续的卡尔曼增益和状态更新产生偏差。
解决方案：IEKF在更新步骤中引入迭代循环：
首先，使用和EKF相同的先验估计x^k−作为线性化的初始点。
然后，进行一次更新，得到一个后验状态的初步估计 x^k+
关键步骤：将这个新得到的后验估计 x^k+ 作为新的线性化点，重新计算雅可比矩阵 Hj，然后再次进行更新。
重复这个过程（通常3-5次迭代就足够），直到后验状态估计的变化小于一个设定的阈值，即认为估计已经收敛。

通过多次迭代，线性化点从最初的先验估计 x^k−逐步逼近真实的（未知）状态 xk，使得线性化更加准确，从而提高了状态估计的精度。

3. 详细步骤

假设非线性系统模型如下：

步骤一：预测（与EKF完全相同）

步骤二：迭代更新（IEKF的核心）

协方差更新通常只在最后一次迭代计算一次，因为每次迭代都重新计算 Pk+ 并用于下一次预测在理论上更复杂，且实践中常采用上述方式。

4. IEKF 对比 EKF

IEKF 是对 EKF 的自然进化，通过迭代重线性化来减小线性误差，在不显著增加计算复杂度的前提下，显著提升了滤波精度，特别是在处理高度非线性的观测模型时。

UKF 则采用了与EKF/IEKF完全不同的哲学，它摒弃了泰勒展开线性化的思路，转而使用无迹变换来直接近似非线性传播后的统计特性。

特性	扩展卡尔曼滤波 (EKF)	迭代扩展卡尔曼滤波 (IEKF)	无迹卡尔曼滤波 (UKF)
核心思想	一阶泰勒展开，在单个点（先验估计）线性化	多次线性化，通过迭代使线性化点逼近真实状态	无需求导，采用确定性采样（Sigma点）来捕捉状态的均值和协方差。
精度	中等。对于中度非线性系统有效，线性化误差较大。	高。通常比EKF精度更高，线性化误差显著减小。	高。通常与IEKF相当或更好，尤其对于强非线性系统。
计算成本	低。只需计算一次雅可比矩阵和一次更新。	中等。需要多次（通常3-5次）计算雅可比矩阵和更新。比EKF慢，但通常比UKF快。	高。需要传播 2n+1 个Sigma点（n为状态维数），计算成本随维数增长。
实现难度	简单。需要推导和计算雅可比矩阵。	中等。迭代循环需要小心处理收敛性。	中等。无需推导雅可比矩阵，但需要设计Sigma点和权重。
适用场景	非线性程度不高，计算资源有限的系统。	高度非线性系统，且对精度要求高于计算效率的场景。观测模型非线性强时特别有效。	高度非线性系统，特别是函数不可微或难以求导的情况。对状态分布的近似更好。
线性化点	固定的先验估计点	动态变化，从迭代至收敛点。	无需线性化，直接对非线性函数进行传播。
可靠性	一般。线性化误差可能导致发散。	较好。更准确的线性化提高了稳定性。	好。对非线性变换的统计特性捕捉得更准，更稳定。