【深度学习基础】预备知识 | 微积分

Francek Chen

发布于 2025-01-22 23:00:51

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深度学习 (DL, Deep Learning) 特指基于深层神经网络模型和方法的机器学习。它是在统计机器学习、人工神经网络等算法模型基础上，结合当代大数据和大算力的发展而发展出来的。深度学习最重要的技术特征是具有自动提取特征的能力。神经网络算法、算力和数据是开展深度学习的三要素。深度学习在计算机视觉、自然语言处理、多模态数据分析、科学探索等领域都取得了很多成果。本专栏介绍基于PyTorch的深度学习算法实现。

【GitCode】专栏资源保存在我的GitCode仓库：https://gitcode.com/Morse_Chen/PyTorch_deep_learning。

在2500年前，古希腊人把一个多边形分成三角形，并把它们的面积相加，才找到计算多边形面积的方法。为了求出曲线形状（比如圆）的面积，古希腊人在这样的形状上刻内接多边形。如图1所示，内接多边形的等长边越多，就越接近圆。这个过程也被称为逼近法（method of exhaustion）。

图1 用逼近法求圆的面积

事实上，逼近法就是积分（integral calculus）的起源。2000多年后，微积分的另一支，微分（differential calculus）被发明出来。在微分学最重要的应用是优化问题，即考虑如何把事情做到最好。正如在【深度学习基础】深度学习导论中讨论的那样，这种问题在深度学习中是无处不在的。

在深度学习中，我们“训练”模型，不断更新它们，使它们在看到越来越多的数据时变得越来越好。通常情况下，变得更好意味着最小化一个损失函数（loss function），即一个衡量“模型有多糟糕”这个问题的分数。最终，我们真正关心的是生成一个模型，它能够在从未见过的数据上表现良好。但“训练”模型只能将模型与我们实际能看到的数据相拟合。因此，我们可以将拟合模型的任务分解为两个关键问题：

优化（optimization）：用模型拟合观测数据的过程；
泛化（generalization）：数学原理和实践者的智慧，能够指导我们生成出有效性超出用于训练的数据集本身的模型。

为了帮助读者在后面的章节中更好地理解优化问题和方法，本节提供了一个非常简短的入门教程，帮助读者快速掌握深度学习中常用的微分知识。

一、导数和微分

我们首先讨论导数的计算，这是几乎所有深度学习优化算法的关键步骤。在深度学习中，我们通常选择对于模型参数可微的损失函数。简而言之，对于每个参数，如果我们把这个参数增加或减少一个无穷小的量，可以知道损失会以多快的速度增加或减少。

假设我们有一个函数

f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}

，其输入和输出都是标量。如果

的导数存在，这个极限被定义为

f'(x) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}\tag{1}

如果

f'(a)

存在，则称

在

处是可微（differentiable）的。如果

在一个区间内的每个数上都是可微的，则此函数在此区间中是可微的。我们可以将式(1)中的导数

f'(x)

解释为

f(x)

相对于

的瞬时（instantaneous）变化率。所谓的瞬时变化率是基于

中的变化

，且

接近

。

为了更好地解释导数，让我们做一个实验。定义

u=f(x)=3x^2-4x

如下：

%matplotlib inline
import numpy as np
from matplotlib_inline import backend_inline
from d2l import torch as d2l

def f(x):
    return 3 * x ** 2 - 4 * x

通过令

x=1

并让

接近

，式(1)中

\frac{f(x+h)-f(x)}{h}

的数值结果接近

。虽然这个实验不是一个数学证明，但稍后会看到，当

x=1

时，导数

是

。

def numerical_lim(f, x, h):
    return (f(x + h) - f(x)) / h

h = 0.1
for i in range(5):
    print(f'h={h:.5f}, numerical limit={numerical_lim(f, 1, h):.5f}')
    h *= 0.1

让我们熟悉一下导数的几个等价符号。给定

y=f(x)

，其中

和

分别是函数

的自变量和因变量。以下表达式是等价的：

f'(x) = y' = \frac{dy}{dx} = \frac{df}{dx} = \frac{d}{dx} f(x) = Df(x) = D_x f(x)

其中符号

\frac{d}{dx}

和

是微分运算符，表示微分操作。我们可以使用以下规则来对常见函数求微分：

DC = 0

（

是一个常数）

Dx^n = nx^{n-1}

（幂律（power rule），

是任意实数）

De^x = e^x

D\ln(x) = 1/x

为了微分一个由一些常见函数组成的函数，下面的一些法则方便使用。假设函数

和

都是可微的，

是一个常数，则：

常数相乘法则

\frac{d}{dx} [Cf(x)] = C \frac{d}{dx} f(x),\tag{2}

加法法则

\frac{d}{dx} [f(x) + g(x)] = \frac{d}{dx} f(x) + \frac{d}{dx} g(x),\tag{3}

乘法法则

\frac{d}{dx} [f(x)g(x)] = f(x) \frac{d}{dx} [g(x)] + g(x) \frac{d}{dx} [f(x)],\tag{4}

除法法则

\frac{d}{dx} \left[\frac{f(x)}{g(x)}\right] = \frac{g(x) \frac{d}{dx} [f(x)] - f(x) \frac{d}{dx} [g(x)]}{[g(x)]^2}.\tag{5}

现在我们可以应用上述几个法则来计算

u'=f'(x)=3\frac{d}{dx}x^2-4\frac{d}{dx}x=6x-4

。令

x=1

，我们有

u'=2

：在这个实验中，数值结果接近

，这一点得到了在本节前面的实验的支持。当

x=1

时，此导数也是曲线

u=f(x)

切线的斜率。

为了对导数的这种解释进行可视化，我们将使用matplotlib，这是一个Python中流行的绘图库。要配置matplotlib生成图形的属性，我们需要定义几个函数。在下面，use_svg_display函数指定matplotlib软件包输出svg图表以获得更清晰的图像。

注意，注释#@save是一个特殊的标记，会将对应的函数、类或语句保存在d2l包中。因此，以后无须重新定义就可以直接调用它们（例如，d2l.use_svg_display()）。

def use_svg_display():  #@save
    """使用svg格式在Jupyter中显示绘图"""
    backend_inline.set_matplotlib_formats('svg')

我们定义set_figsize函数来设置图表大小。注意，这里可以直接使用d2l.plt，因为导入语句from matplotlib import pyplot as plt已标记为保存到d2l包中。

def set_figsize(figsize=(3.5, 2.5)):  #@save
    """设置matplotlib的图表大小"""
    use_svg_display()
    d2l.plt.rcParams['figure.figsize'] = figsize

下面的set_axes函数用于设置由matplotlib生成图表的轴的属性。

#@save
def set_axes(axes, xlabel, ylabel, xlim, ylim, xscale, yscale, legend):
    """设置matplotlib的轴"""
    axes.set_xlabel(xlabel)
    axes.set_ylabel(ylabel)
    axes.set_xscale(xscale)
    axes.set_yscale(yscale)
    axes.set_xlim(xlim)
    axes.set_ylim(ylim)
    if legend:
        axes.legend(legend)
    axes.grid()

通过这三个用于图形配置的函数，定义一个plot函数来简洁地绘制多条曲线，因为我们需要在整个书中可视化许多曲线。

#@save
def plot(X, Y=None, xlabel=None, ylabel=None, legend=None, xlim=None,
         ylim=None, xscale='linear', yscale='linear',
         fmts=('-', 'm--', 'g-.', 'r:'), figsize=(3.5, 2.5), axes=None):
    """绘制数据点"""
    if legend is None:
        legend = []

    set_figsize(figsize)
    axes = axes if axes else d2l.plt.gca()

    # 如果X有一个轴，输出True
    def has_one_axis(X):
        return (hasattr(X, "ndim") and X.ndim == 1 or isinstance(X, list)
                and not hasattr(X[0], "__len__"))

    if has_one_axis(X):
        X = [X]
    if Y is None:
        X, Y = [[]] * len(X), X
    elif has_one_axis(Y):
        Y = [Y]
    if len(X) != len(Y):
        X = X * len(Y)
    axes.cla()
    for x, y, fmt in zip(X, Y, fmts):
        if len(x):
            axes.plot(x, y, fmt)
        else:
            axes.plot(y, fmt)
    set_axes(axes, xlabel, ylabel, xlim, ylim, xscale, yscale, legend)

现在我们可以绘制函数

u=f(x)

及其在

x=1

处的切线

y=2x-3

，其中系数

是切线的斜率。

x = np.arange(0, 3, 0.1)
plot(x, [f(x), 2 * x - 3], 'x', 'f(x)', legend=['f(x)', 'Tangent line (x=1)'])

二、偏导数

到目前为止，我们只讨论了仅含一个变量的函数的微分。在深度学习中，函数通常依赖于许多变量。因此，我们需要将微分的思想推广到多元函数（multivariate function）上。

设

y = f(x_1, x_2, \ldots, x_n)

是一个具有

个变量的函数。

关于第

个参数

x_i

的偏导数（partial derivative）为：

\frac{\partial y}{\partial x_i} = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x_1, \ldots, x_{i-1}, x_i+h, x_{i+1}, \ldots, x_n) - f(x_1, \ldots, x_i, \ldots, x_n)}{h}\tag{6}

为了计算

\frac{\partial y}{\partial x_i}

，我们可以简单地将

x_1, \ldots, x_{i-1}, x_{i+1}, \ldots, x_n

看作常数，并计算

关于

x_i

的导数。对于偏导数的表示，以下是等价的：

\frac{\partial y}{\partial x_i} = \frac{\partial f}{\partial x_i} = f_{x_i} = f_i = D_i f = D_{x_i} f\tag{7}

三、梯度

我们可以连结一个多元函数对其所有变量的偏导数，以得到该函数的梯度（gradient）向量。具体而言，设函数

f:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}

的输入是一个

维向量

\mathbf{x}=[x_1,x_2,\ldots,x_n]^\top

，并且输出是一个标量。函数

f(\mathbf{x})

相对于

\mathbf{x}

的梯度是一个包含

个偏导数的向量：

\nabla_{\mathbf{x}} f(\mathbf{x}) = \bigg[\frac{\partial f(\mathbf{x})}{\partial x_1}, \frac{\partial f(\mathbf{x})}{\partial x_2}, \ldots, \frac{\partial f(\mathbf{x})}{\partial x_n}\bigg]^\top\tag{8}

其中

\nabla_{\mathbf{x}} f(\mathbf{x})

通常在没有歧义时被

\nabla f(\mathbf{x})

取代。

假设

\mathbf{x}

为

维向量，在微分多元函数时经常使用以下规则：

对于所有

\mathbf{A} \in \mathbb{R}^{m \times n}

，都有

\nabla_{\mathbf{x}} \mathbf{A} \mathbf{x} = \mathbf{A}^\top

对于所有

\mathbf{A} \in \mathbb{R}^{n \times m}

，都有

\nabla_{\mathbf{x}} \mathbf{x}^\top \mathbf{A} = \mathbf{A}

对于所有

\mathbf{A} \in \mathbb{R}^{n \times n}

，都有

\nabla_{\mathbf{x}} \mathbf{x}^\top \mathbf{A} \mathbf{x} = (\mathbf{A} + \mathbf{A}^\top)\mathbf{x}

\nabla_{\mathbf{x}} \|\mathbf{x} \|^2 = \nabla_{\mathbf{x}} \mathbf{x}^\top \mathbf{x} = 2\mathbf{x}

同样，对于任何矩阵

\mathbf{X}

，都有

\nabla_{\mathbf{X}} \|\mathbf{X} \|_F^2 = 2\mathbf{X}

。正如我们之后将看到的，梯度对于设计深度学习中的优化算法有很大用处。

四、链式法则

然而，上面方法可能很难找到梯度。这是因为在深度学习中，多元函数通常是复合（composite）的，所以难以应用上述任何规则来微分这些函数。幸运的是，链式法则可以被用来微分复合函数。

让我们先考虑单变量函数。假设函数

y=f(u)

和

u=g(x)

都是可微的，根据链式法则：

\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \frac{du}{dx}\tag{9}

现在考虑一个更一般的场景，即函数具有任意数量的变量的情况。假设可微分函数

有变量

u_1, u_2, \ldots, u_m

，其中每个可微分函数

u_i

都有变量

x_1, x_2, \ldots, x_n

。注意，

是

x_1, x_2， \ldots, x_n

的函数。对于任意

i = 1, 2, \ldots, n

，链式法则给出：

\frac{\partial y}{\partial x_i} = \frac{\partial y}{\partial u_1} \frac{\partial u_1}{\partial x_i} + \frac{\partial y}{\partial u_2} \frac{\partial u_2}{\partial x_i} + \cdots + \frac{\partial y}{\partial u_m} \frac{\partial u_m}{\partial x_i}\tag{10}