线性代数之相似矩阵、二次型

相似矩阵及二次型的相关知识【第五部分 相似矩阵及二次型】：

【主要内容】

相似矩阵 1、向量的内积、长度、夹角等概念及其计算方法。 2、向量的正交关系及正交向量组的含义。

3、施密特正交化方法。

4、方阵的特征值与特征向量的概念及其计算方法。

（1）特征值求法：解特征方程； （2）特征向量的求法：求方程组的基础解系。 （3）特征值的性质：

5、相似矩阵的定义与性质( 相似， 有相同的特征值)。注意正交相似的性质！！ 6、判断矩阵是否可以对角化以及对角化的步骤，找到可逆矩阵P使得为对角矩阵。

实对称矩阵

实对称矩阵是一个特殊的方阵，其特点是矩阵与其转置相等。也就是说，如果 A 是一个 n×n 的实对称矩阵，那么对于所有 i 和 j，都有 aij=ajiaij​=aji​。这表明矩阵沿着主对角线是对称的。

性质

1. 特征值：实对称矩阵的所有特征值都是实数。
2. 特征向量：属于不同特征值的特征向量是正交的。此外，每个实对称矩阵都可以被一组标准正交的特征向量所对角化。
3. 对角化：存在一个正交矩阵 PP （即 P−1=PTP−1=PT），使得 PTAPPTAP 是一个对角矩阵，这意味着实对称矩阵可以被相似变换为对角矩阵。
4. 正定性：实对称矩阵可以是正定的、半正定的、不定的等。如果所有主子式的行列式都大于零，则该矩阵是正定的；如果所有主子式的行列式非负，则它是半正定的。

运用

代码示例

import numpy as np

# 创建一个3x3的对称矩阵
A = np.array([[4, 1, 0],
              [1, 2, 2],
              [0, 2, 3]])

print("Matrix A:")
print(A)

# 计算矩阵A的特征值和特征向量
eigenvalues, eigenvectors = np.linalg.eig(A)

print("\nEigenvalues:")
print(eigenvalues)

print("\nEigenvectors:")
print(eigenvectors)

上述代码创建一个实对称矩阵，并找到它的特征值和特征向量

合同

二次型

化二次型为标准型

用配方法

用正交变换法化二次型为标准形的步骤:（将实对称矩阵对角化）

（1）写出二次型的矩阵 （2）求出所有特征值 （3）解方程组，求对应于特征值的特征向量 （4）若特征向量组不正交，则先将其正交化，再单位化，得标准正交的向量组，记，对二次型做正交变换 ,即得二次型的标准形

用线性替换

化成标准型之后，系数只有1，-1和0。

其中：正惯性指数：为1的个数；负惯性指数：为-1的个数；符号差：为正惯性指数-负惯性指数

正定二次型的定义及其判定方法

常用判定二次型正定的方法：

（1）定义法：系数都大于零，主对角线元素都大于零 （2）特征值全大于零 （3）顺序主子式全大于零

【要求】

1、掌握向量的内积、长度、夹角，正交向量组的性质，会利用施密特正交化方法化线性无 关向量组为正交向量组。 2、掌握方阵特征值、特征向量的概念、求法。 3、了解相似矩阵的概念、掌握化对称矩阵为对角矩阵的方法。 4、掌握二次型的概念、会用正交变换化二次型为标准形。 5、知道正定二次型的概念及其判定方法。

相关代码的运用：

在Python中，相似矩阵和二次型的应用通常涉及到线性代数和数值分析的领域。相似矩阵主要与矩阵的对角化相关，而二次型则常用于优化问题、统计分析以及机器学习中的特征选择等场景。

相似矩阵

相似矩阵是指存在一个可逆矩阵P使得两个矩阵A和B满足关系 B = P^-1 * A * P。这在数学上意味着A和B有相同的特征值，且如果A是可对角化的，那么通过找到合适的P，我们可以将A转换为对角矩阵D，其中D的对角元素就是A的特征值。

在Python中，可以使用numpy和scipy库来处理矩阵的相似变换和对角化：

import numpy as np
from scipy.linalg import schur, eig

# 创建一个矩阵A
A = np.array([[1, 2], [3, 4]])

# 计算A的Schur分解，得到T（准对角形式）和Q（单位ary矩阵）
T, Q = schur(A)

# 检查是否相似
print(np.allclose(Q.T @ A @ Q, T))

# 计算A的特征值和特征向量
eigenvalues, eigenvectors = eig(A)
D = np.diag(eigenvalues)  # 对角矩阵
P = eigenvectors
# 检查是否相似
print(np.allclose(P.T @ A @ P, D))

二次型

二次型是一个多项式函数，通常表示为 q(x) = x^T * A * x，其中x是一个向量，A是一个对称矩阵。在Python中，可以通过以下方式计算二次型的值：

import numpy as np

# 定义一个对称矩阵A
A = np.array([[2, 1], [1, 3]])

# 定义一个向量x
x = np.array([1, 2])

# 计算二次型的值
q_x = np.dot(x.T, np.dot(A, x))
print(q_x)

在实际应用中，二次型常被用于最小二乘法、主成分分析（PCA）、岭回归等问题中。例如，在最小二乘法中，目标是最小化误差向量的二次范数，这可以视为一个二次型问题。

自我总结，还请指正