导语
三门问题(Monty Hall problem)亦称为蒙提霍尔问题,是美国电视游戏节目Let's Make a Deal的主持人蒙提·霍尔(Monty Hall)提出的一个著名问题。该问题最好玩的地方在于,答案在逻辑上没有漏洞,但却与观众的直觉相违背,故也称为蒙提霍尔悖论,饶有趣味。关于问题的思考方式有很多,本文尝试从统计学的角度解答这个问题,此为笔者个人拙见,仅供参考,敬请指正。
三门问题的提出,曾在当时引起一阵热烈的讨论。时至今日,该问题仍然作为学习概率的经典例子。接下来我和大家分享一下我的个人见解。
游戏过程说明: (1)游戏玩家面对三个关闭的大门,每个门后面都有一个奖品,其中有1扇门后面的奖品是一辆车,另外2扇门后面各是一只山羊。奖品随机放在三个门后面。 (2)玩家最终只能打开一扇门,并拿到门后的奖品。显然,拿到汽车的收益最大。 (3)首先,玩家先挑选一个门,不妨假设为A门,其他两个门称为B门和C门。 (4)主持人知道车在哪个门后。在打开玩家选中的门之前,主持人会先打开另一个没有车的门来增加悬念(如果汽车在A门 后面,那么主持人打开 B 或者 C 都是安全的,所以他可以随意选择一个;如果汽车在B后面,那么主持人只能够选择C) (5)然后主持人给玩家一个选择,是坚持最初的选择还是换到另外一个没有打开的门? 问题是:坚持与改选对选中汽车的概率有影响吗?
答案在下方(空行护体):
(数据の美)
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答案:坚持与改选对选中汽车的概率有影响,坚持对选中汽车的概率是1/3,改选对选中汽车的概率是2/3。
简单解析:
假设观众最初选择门A,主持人打开门B或门C,观众坚持与改选,对选中汽车的概率的影响如图2。观众最初选择门B、C,情况一样。因此坚持与改选对选中汽车的概率有影响,坚持对选中汽车的概率是1/3,改选对选中汽车的概率是2/3。
详细解析(从统计学的角度):
在开始计算两种策略对选中汽车的概率前,我们需要先来复习一下4个统计学概念:
(1)全概率公式
假设{ Bn : n = 1, 2, 3, ... } 是一个概率空间的有限或者可数无限的分割(既Bn为一完备事件组),且每个集合Bn是一个可测集合,则对任意事件A有全概率公式:
(2)条件概率 事件A在另外一个事件B已经发生条件下的发生概率:
(3)先验概率 在贝叶斯统计中,某一不确定量p的先验概率分布是在考虑"观测数据"前,能表达p不确定性的概率分布
(4)贝叶斯定理 描述事件A在事件B(发生)的条件下的概率,与事件B在事件A(发生)的条件下的概率的关系:
接下来,我们开始计算坚持、改选两种策略对选中汽车的概率。我们把问题简化为:观众开始选的是A门,主持人打开B门,观众坚持与改选,对选中汽车的概率分别是多少?
我们假设: 事件A为车在A门后面 事件B为车在B门后面 事件C为车在C门后面 事件b为主持人打开B门
于是上述问题,可以进一步转化为:求后验概率P(A|b)与P(C|b)
先验概率: 一开始任意一个门后有车的概率为P(X)=1/3,X=A,B,C
条件概率: 当车在A门后,主持人开B门的概率,P(b|A)=1/2 当车在B门后,主持人开B门的概率,P(b|B)=0 当车在C门后,主持人开B门的概率,P(b|C)=1
坚持对选中汽车的概率是1/3
改选对选中汽车的概率是2/3
证明完成
原创声明:本文系作者授权腾讯云开发者社区发表,未经许可,不得转载。
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