线性混合模型系列二：模型假定

1. 混合线性模型公式和假定 混合线性模型的公式和假定，一般认为随机因子和残差是符合正态分布的，随机因子可以相关（比如系谱关系，SNP构建G矩阵关系），用A矩阵或者G矩阵表示，残差是独立同分布的，矩阵结构一般是单位矩阵。

举个栗子：

比如这里不同场的一些个公牛（Sire）的体重（y），如果要分析这个数据，公牛作为随机因子，模型为：

这里：

• 观测值：体重weight
• 固定因子：Chang
• 随机因子：Sire
• 残差：e

如果公牛之间没有亲缘关系，那么他们之间的亲缘关系矩阵是单位矩阵，它的分布为：

残差的分布为：

那么G矩阵（随机因子）和R矩阵（残差）为：

如果，公牛之间是由亲缘关系A的，那么：

2. 多个固定因子和多个随机因子的剖分

这里b为固定因子的效应值，加入固定因子有多个，场，年，季，性别等等，那么b 可以分解为：[b1, b2, b3,...]

X为固定因子对应的矩阵，X也可以分解为：[X1,X2,X3...]

同样的道理，随机因子和随机因子的矩阵，也可以剖分为类似的形式，比如动物模型中，除了加性效应，还可以有母体效应，永久环境效应，窝别效应作为随机因子。

3. 直和和直积

3.1 概念解释

多个随机因子时，如果他们之间是独立的，那么整个随机因子的矩阵由每个随机因子的矩阵构成，他们之间的关系是直和。

如果随机因子之间，是有相关的，比如母体效应和加性效应，有时会有协方差的关系，那么他们之间的关系就是直积。

直和（Direct sum）和直积（Direct product）是混合线性模型中经常用到的概念，下面用具体例子介绍直积和直和是如何通过R语言计算的。

比如下图中，D为22的矩阵，F为22的矩阵，那么直和就是讲D和F作为对角线，非对角线为0，构成一个44的矩阵。直积D的每个元素分别和F矩阵相乘，得到44的矩阵。

3.2 R语言实现直和与直积

函数构建

这里直积我们用R的默认函数kronecker，为了方便操作，我们赋予它另一个名称：direct_product。

对于直和，我们构建了一个函数，可以将两个矩阵变成直和的结果。

direct_sum<- function(mat1,mat2){
  r1 <- dim(mat1)[1];c1<- dim(mat1)[2]
  r2 <- dim(mat2)[1];c2<- dim(mat2)[2]
  rbind(cbind(mat1,matrix(0,r1,c2)),cbind(matrix(0,r2,c1),mat2))
}
direct_product <- kronecker

运行结果：

4. sigma参数化和gamma参数化

一般混合模型中的假定都是sigma参数化的：

也就是，需要计算Vg和Ve的方差组分，sigma。

gamma参数化，是直接是Vg/Ve，因此只需要计算Ve，然后根据gamma，就可以计算Vg，因为：Vg = gamma*Ve。

我们假定：

这样做的好处是方便指定初始值，只需要指定比例（比如根据遗传力推导）即可，很方便，这样，y的方差就变成了：

asreml中，在固定初始值，要制定gamma参数化，一般我们在分析时，都是用的是sigma参数。混合线性模型，可以根据直接方法，也可以根据MME间接方法，在求解之前，需要知道随机因子和残差的方差组分，这就需要用REML方法。

线性混合模型系列一：基本定义