去掉对称矩阵的上三角部分或下三角部分

基础概念

对称矩阵是指一个方阵，其转置矩阵等于它本身。即对于一个 ( n \times n ) 的对称矩阵 ( A )，有 ( A = A^T )。对称矩阵的上三角部分和下三角部分是对称的，通常可以通过只存储上三角或下三角部分来节省存储空间。

类型

上三角矩阵：矩阵的对角线及其以上的元素为非零元素，对角线以下的元素为零。
下三角矩阵：矩阵的对角线及其以下的元素为非零元素，对角线以上的元素为零。

应用场景

存储优化：对称矩阵只存储上三角或下三角部分，可以减少一半的存储空间。
数值计算：在对称矩阵的运算中，如矩阵乘法、求逆等，可以利用对称性简化计算。
工程应用：在结构分析、控制系统等领域，对称矩阵常用于描述系统的特性。

问题与解决方法

问题：如何去掉对称矩阵的上三角部分或下三角部分？

解决方法

假设我们有一个 ( n \times n ) 的对称矩阵 ( A )，我们可以将其转换为只包含上三角或下三角部分的矩阵。

示例代码（Python）

import numpy as np

def remove_upper_triangular(matrix):
    n = matrix.shape[0]
    lower_triangular_matrix = np.zeros((n, n))
    for i in range(n):
        for j in range(i + 1):
            lower_triangular_matrix[i, j] = matrix[i, j]
    return lower_triangular_matrix

def remove_lower_triangular(matrix):
    n = matrix.shape[0]
    upper_triangular_matrix = np.zeros((n, n))
    for i in range(n):
        for j in range(i, n):
            upper_triangular_matrix[i, j] = matrix[i, j]
    return upper_triangular_matrix

# 示例对称矩阵
A = np.array([
    [1, 2, 3],
    [2, 4, 5],
    [3, 5, 6]
])

# 去掉上三角部分
lower_triangular_A = remove_upper_triangular(A)
print("去掉上三角部分后的矩阵:")
print(lower_triangular_A)

# 去掉下三角部分
upper_triangular_A = remove_lower_triangular(A)
print("去掉下三角部分后的矩阵:")
print(upper_triangular_A)