问从$F_{p^n}$到$Z_{p^n}$的同态映射

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“从\mathbb F_{p^n}到\mathbb Z_{p^n}的同态映射是否可能既保留加法运算符又保留乘法运算符？”

除了同构时的n=1，只有非常枯燥的映射，将一切发送到0。考虑\mathbb F_{p^n}的乘法恒等式。我们把它写成1，并考虑我们假定的同态\phi。我们看到，通过加性加上1的k拷贝，对于任何整数k，我们都有\phi(1+\cdots+1)=k\phi(1)\mod {p^n}，特别是对于k=p，我们看到了p\phi(1)=\phi(0)=0，所以对于一些1\le c\le p，\phi(1)=cp^{n-1}。此外，通过乘法，我们得到了\phi(1)=\phi(1\cdot 1)=\phi(1)\phi(1)，所以\phi(1)=1或0。我们得出结论：c=p和\phi(1)=0 (n=1除外)。此外，对于任何\alpha\in\mathbb F_{p^n} \phi(\alpha)=\phi(1\cdot\alpha)=\phi(1)\phi(\alpha)=0。

或者，如果我们放宽了要求，我们可以从乘法群\mathbb F_{p^n}^\times到保留乘法的\mathbb Z_{p^n}^\times进行同态映射吗？

只是稍微不那么无聊。注意|\mathbb F_{p^n}^\times|=p^n-1和|\mathbb Z_{p^n}^\times|=p^n-p^{n-1}。任何同态的图像大小都必须除以这两者的GCD，即p-1。我们看到，图像必须是1的(p-1)根在\mathbb Z_{p^n}中的子群。现在选择\mathbb F_{p^n}^\times的任何乘法生成器，将其称为\alpha。正是p-1群同态依赖于(p-1)的根1是否等于\phi(\alpha)。核是\mathbb F_{p^n}^\times中的\ell|(p-1)第四次方，其中D34是\mathbb Z_{p^n}^\times中\phi(\alpha)的乘法阶。