零基础60天快速通关人工智能数学基础 ,第一阶段：初中数学基础（1-11 天）,第2天,代数式（整式、分式、因式分解）

作者介绍：崔鹏，计算机学博士，专注 AI 与大数据管理领域研究，拥有十五年数据库、操作系统及存储领域实战经验，兼具 ORACLE OCM、MySQL OCP 等国际权威认证，PostgreSQL ACE，运营技术公众号 "CP 的 PostgreSQL 厨房"，学术层面，已在AI方向发表2篇SCI论文,将理论研究与工程实践深度结合，形成独特的技术研发视角。

正文

今天是咱们数学筑基计划的第二天，核心主题是「代数式」—— 包括整式、分式，还有能让复杂式子 “秒变简单” 的因式分解。别小看这些初中知识，它们可是后续理解函数、甚至 AI 模型化简的关键 “钥匙”～

一、数学概念拆解：整式、分式、因式分解，都是啥？

1. 整式：数学世界的 “基础积木”

整式分为单项式和多项式：

单项式：数字与字母的乘积，像 “3 乘 x”（3 和 x 的积）、“5 乘 a 乘 b 的平方”（5、a、b 的平方的积），可以理解为 “单个数学积木”。

多项式：几个单项式的和，比如 “2 乘 x 加 3 乘 y”（2 乘 x 和 3 乘 y 的和）、“x 的平方减 2 乘 x 加 1”（x 的平方、负 2 乘 x、1 的和），相当于 “用积木拼出的组合图形”。

整式能进行加减乘除运算：加减要 “合并同类项”（比如 “3 乘 x 加 5 乘 x 等于 8 乘 x”），乘法靠 “分配律、结合律”（比如 “（x 加 2）乘（x 减 3）等于 x 的平方减 3 乘 x 加 2 乘 x 减 6，结果等于 x 的平方减 x 减 6”）。

2. 分式：“有条件的除法”

分式的形式是 “A 除以 B”（其中 A、B 是整式，且 B 里必须含字母、同时 B 不等于 0）。比如 “1 除以 x”、“（x 加 1）除以（x 的平方减 1）” 都是分式。

它像 “带限制的除法”：分母不能为 0（否则式子无意义），这一点特别重要 —— 后续 AI 数据处理中，“数据范围限制” 的逻辑和它如出一辙。

3. 因式分解：逆向的 “拼图游戏”

因式分解是把多项式拆成几个整式相乘的形式（和 “整式乘法” 相反）。比如：

“x 的平方减 4” 可以分解为 “（x 加 2）乘（x 减 2）”（平方差公式）；

“x 的平方加 6 乘 x 加 9” 可以分解为 “（x 加 3）的平方”（完全平方公式）。

简单说，就是把 “拼好的积木” 拆回 “小零件”，方便后续分析和计算～

二、实操实验：动手分解，触摸 AI 场景的 “化简逻辑”

今天的核心任务是因式分解实操，并模拟 “AI 激活函数整理” 的思路。咱们分三步来：

步骤 1：基础因式分解练习（选典型例题）

先从最基础的公式入手，比如「平方差」和「完全平方」：

例子 1（完全平方）：分解 “x 的平方加 6 乘 x 加 9”

思路：找两个数，和为 6，积为 9 → 显然是 3 和 3。

所以 “x 的平方加 6 乘 x 加 9 等于（x 加 3）的平方”（完全平方公式：“a 的平方加 2 乘 a 乘 b 加 b 的平方等于（a 加 b）的平方”）。

例子 2（平方差）：分解 “x 的平方减 25”

思路：25 等于 5 的平方，符合平方差公式 “a 的平方减 b 的平方等于（a 加 b）乘（a 减 b）”。

所以 “x 的平方减 25 等于（x 加 5）乘（x 减 5）”。

（建议从推荐的 15 道基础题里，再选几道不同类型的练习，熟练公式～）

步骤 2：模拟 “AI 激活函数整理”

AI 里的「激活函数」（比如 ReLU、Sigmoid）经常需要化简表达式，咱们用因式分解模拟这个过程：

假设一个简化的激活函数相关分式：

“f（x）等于（x 的平方减 4 乘 x 加 4）除以（x 减 2）”

第一步：对分子 “x 的平方减 4 乘 x 加 4” 做因式分解。

找两个数，和为负 4，积为 4 → 是负 2 和负 2，所以分子可分解为 “（x 减 2）的平方”。

第二步：代入原式化简。

“f（x）等于（x 减 2）的平方除以（x 减 2），结果等于 x 减 2”（注意：x 不等于 2，因为原分式分母不能为 0）。

通过因式分解，原本 “复杂的分式” 变成了 “简单的一次式”—— 这和 AI 中 “简化激活函数表达式，让计算更高效” 的思路完全一致～

步骤 3：探索 “分式有意义的边界”

再拿分式 “1 除以（x 的平方减 1）” 举例：

第一步：对分母因式分解，“x 的平方减 1 等于（x 加 1）乘（x 减 1）”（平方差公式）。

第二步：分析 “有意义的条件”：分母不能为 0 → “（x 加 1）乘（x 减 1）不等于 0” → “x 不等于负 1” 且 “x 不等于 1”。

这就像 AI 数据预处理时，要给 “输入特征” 划定有效范围—— 如果数据超出范围（比如出现 x 等于 1），模型就会出现 “除以 0” 的错误，导致运算崩溃。

三、和 ML/DL 的关联：为什么现在要学这些？

你可能会问：“初中代数式和 AI 有啥关系？” 其实联系可深了：

代数式变形是函数的基础：后续学 “激活函数、损失函数” 时，经常需要对复杂式子化简（比如今天模拟的激活函数整理）。

因式分解的 “化繁为简” 思维：和 ML 中 “模型优化、特征提取” 逻辑一致 —— 把复杂的多项式特征拆成简单 “因子”，方便分析和计算。

分式的 “定义域” 概念：对应 AI 数据的 “有效性约束”—— 比如某些特征值不能取特定值，否则会导致模型运算错误。

总结：今天的 “代数式”，是 AI 路上的 “铺路石”

通过今天的学习，我们不仅掌握了整式、分式、因式分解的概念，还通过实操触摸到了 AI 中 “式子化简、范围约束” 的核心思路～