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在两条直线相交处添加圆角，算法该如何实现？

前端西瓜哥

发布于 2024-06-17 05:38:08

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大家好，我是前端西瓜哥。

下面我们看一个平面几何算法。

已知两条直线形成的折线，和圆角的半径，求在两条直线相交位置添加该圆角后的形状。

如图：

思路

思路非常简单。

将两条直线 往中间位置偏移半径的距离，偏移后的两条直线的 交点就是圆角的圆心。

然后基于圆心作两条直线的垂足得到两个点，这两个点就是圆弧起点和终点，然后确定方向就可以了。

Demo 效果演示：

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实现

我们用两个点表示一条直线。

直线 1 用点 p1、p2 表示，直线 2 用点 p3、p4 表示，圆角半径为 radius。

 const calcRoundCorner = (
  p1: Point,
  p2: Point,
  p3: Point,
  p4: Point,
  radius: number,
) => {
  // ...
}

求偏移直线

我们需要知道两条直线的左右关系，为此我们需要计算两条直线对应向量的叉积。

叉积的作用是判断向量的左右关系。

// p2 到 p1 向量
const v1 = {
  x: p1.x - p2.x,
  y: p1.y - p2.y,
};

// p2 到 p3 的向量
const v2 = {
  x: p4.x - p3.x,
  y: p4.y - p3.y,
};

// 叉积
const cp = v1.x * v2.y - v2.x * v1.y;

注意，这里我们假设坐标系 x 轴向右，y 轴向下。

如果叉积为 0，说明两条直线平行或共线，无法确定圆心位置，没有意义，直接结束返回。

if (cp === 0) {
  // 平行，无法生成圆角
  return null;
}

如果叉积小于 0，说明 v2 在 v1 的左边（注意这里的左边指的是向量方向前进方向的左边，不是布局的左边）。

所以中间位置在 v1 的左边，v2 的右边。

v1 对应的直线就需要向左边移动半径距离。

我们求出 v1 的向左法向量，然后让它的模长为半径长度，得到位移向量。

// 求 v1 向左法向量（这里不是单位向量）
normalVec1 = {
  x: v1.y,
  y: -v1.x,
};

const t1 = radius / distance(p1, p2);
// 算出位移向量
const d = {
  x: normalVec1.x * t1,
  y: normalVec1.y * t1,
};

// line1 沿法向量偏移半径长度
const offsetLine2 = [
  {
    x: p3.x + d2.x,
    y: p3.y + d2.y,
  },
  {
    x: p4.x + d2.x,
    y: p4.y + d2.y,
  },
];

求一个向量的法向量其实就是将该向量旋转 90 度或 -90 度，结果是 x 和 y 交换位置，且其中一个符号取反。

向左的法向量对应的旋转 -90度，这里可以考虑引入矩阵库数学工具，使用旋转矩阵提高代码的可读性。

同理，v2 对应的直线就需要向右移动半径距离，这里不再赘述。

如果叉积大于 0，说明 v2 在 v1 的右边，和前面的区别就是法向量反过来，其它都是一样的。

求圆心

前面我们得到了偏移后的两条直线，就可以用解方程的方式求两条直线的圆心了。

这个我之前的文章讲过，这里直接给求两直线交点的代码实现：

/**
 * 求两条直线交点
 */
export const getLineIntersection = (
  p1: Point,
  p2: Point,
  p3: Point,
  p4: Point,
): Point | null => {
  const { x: x1, y: y1 } = p1;
  const { x: x2, y: y2 } = p2;
  const { x: x3, y: y3 } = p3;
  const { x: x4, y: y4 } = p4;

  const a = y2 - y1;
  const b = x1 - x2;
  const c = x1 * y2 - x2 * y1;

  const d = y4 - y3;
  const e = x3 - x4;
  const f = x3 * y4 - x4 * y3;

  // 计算分母
  const denominator = a * e - b * d;

  // 判断分母是否为 0（代表平行）
  if (Math.abs(denominator) < 0.000000001) {
    // 这里有个特殊的重叠但只有一个交点的情况，可以考虑处理一下
    return null;
  }

  const px = (c * e - f * b) / denominator;
  const py = (a * f - c * d) / denominator;

  return { x: px, y: py };
};

所以圆角的圆心为：

// 求偏移后两条直线的交点，这个交点就是圆心
const circleCenter = getLineIntersection(
  offsetLine1[0],
  offsetLine1[1],
  offsetLine2[0],
  offsetLine2[1],
);

求垂足

然后我们将圆心往两条直线上投影，求垂足点，这两个点是圆弧的起点和终点。

这个投影，或者说找到直线的最近点算法，我之前的文章也讲过，这里也直接贴代码实现：

const closestPointOnLine = (
  p1: Point,
  p2: Point,
  p: Point,
  /** 是否限制在在线段之内 */
  canOutside = false,
) => {
  if (p1.x === p2.x && p1.y === p2.y) {
    return {
      t: 0,
      d: distance(p1, p),
      point: { x: p1.x, y: p1.y },
    };
  }
  const dx = p2.x - p1.x;
  const dy = p2.y - p1.y;
  let t = ((p.x - p1.x) * dx + (p.y - p1.y) * dy) / (dx * dx + dy * dy);
  if (!canOutside) {
    t = Math.max(0, Math.min(1, t));
  }
  const closestPt = {
    x: p1.x + t * dx,
    y: p1.y + t * dy,
  };
  return {
    t,
    d: distance(p, closestPt),
    point: closestPt,
  };
};

求出圆弧起点和终点：

// 求圆心到两条线的垂足
const { point: start } = closestPointOnLine(p1, p2, circleCenter, true);
const { point: end } = closestPointOnLine(p3, p4, circleCenter, true);

然后就是圆弧反向，基于叉积的正负值可得出。

const angleDir = cp < 0, // 正值 -> 顺时针

确定圆弧和收尾工作

至此我们知道了 圆心、半径、起点、终点、方向，圆弧就能确定了。

后续我们只需要将这些圆弧的信息转换为渲染引擎支持的数据结构，常见的有三种。

最后可能要调整一下线段的端点位置，使其落在圆弧端点上。

扩展点

有几个扩展点。

首先是对于 圆角半径大小的限制 的考虑。

一般情况下，圆角圆弧的端点不会超出两条线段的范围。

但特殊情况下还是会超出的：设置一个很大的圆角半径。

AutoCAD 的做法是，提示 “圆角半径太大”，不允许生成。

Figma 的做法是，会使用圆角效果，但实际渲染时的 radius 不能超出某个值，保证圆弧的端点不超出线段区间。

不管哪种方案，都要求一下两条线段各自能支持的最大圆角半径，取其中较小的，作为阈值。

可以用点积求出夹角，然后用三角函数求出支持最大圆角半径：

曲线也能做相交处圆角，原理还是一样的，曲线同样也是向中间位置偏移一段距离，接着求圆角中点，然后就是求到两条线的垂足。

完整代码实现

因为还带上了一些子算法，所以代码有一点点长。

// 求两直线的圆角圆弧
const calcRoundCorner = (
  p1: Point,
  p2: Point,
  p3: Point,
  p4: Point,
  radius: number,
) => {
  // p2 到 p1 向量
  const v1 = {
    x: p1.x - p2.x,
    y: p1.y - p2.y,
  };
  // p2 到 p3 的向量
  const v2 = {
    x: p4.x - p3.x,
    y: p4.y - p3.y,
  };
  // 求叉积
  const cp = v1.x * v2.y - v2.x * v1.y;
  if (cp === 0) {
    // 平行，无法生成圆角
    return null;
  }
  let normalVec1: Point;
  let normalVec2: Point;
  // v2 在 v1 的左边
  if (cp < 0) {
    // 求 v1 向左法向量
    normalVec1 = {
      x: v1.y,
      y: -v1.x,
    };
    // 求 v2 向右法向量
    normalVec2 = {
      x: -v2.y,
      y: v2.x,
    };
  }
  // v2 在 v1 的右边
  else {
    normalVec1 = {
      x: -v1.y,
      y: v1.x,
    };
    normalVec2 = {
      x: v2.y,
      y: -v2.x,
    };
  }

  // 求沿法向量偏移半径长度的 line1
  const t1 = radius / distance(p1, p2);
  const d = {
    x: normalVec1.x * t1,
    y: normalVec1.y * t1,
  };
  const offsetLine1 = [
    {
      x: p1.x + d.x,
      y: p1.y + d.y,
    },
    {
      x: p2.x + d.x,
      y: p2.y + d.y,
    },
  ];

  // 求沿法向量偏移半径长度的 line1
  const t2 = radius / distance(p3, p4);
  const d2 = {
    x: normalVec2.x * t2,
    y: normalVec2.y * t2,
  };
  const offsetLine2 = [
    {
      x: p3.x + d2.x,
      y: p3.y + d2.y,
    },
    {
      x: p4.x + d2.x,
      y: p4.y + d2.y,
    },
  ];

  // 求偏移后两条直线的交点，这个交点就是圆心
  const circleCenter = getLineIntersection(
    offsetLine1[0],
    offsetLine1[1],
    offsetLine2[0],
    offsetLine2[1],
  )!;

  // 求圆心到两条线的垂足
  const { point: start } = closestPointOnLine(p1, p2, circleCenter, true);
  const { point: end } = closestPointOnLine(p3, p4, circleCenter, true);

  // 圆心到垂足的弧度
  const angleBase = { x: 1, y: 0 };
  const startAngle = getSweepAngle(angleBase, {
    x: start.x - circleCenter.x,
    y: start.y - circleCenter.y,
  });
  const endAngle = getSweepAngle(angleBase, {
    x: end.x - circleCenter.x,
    y: end.y - circleCenter.y,
  });

  return {
    offsetLine1,
    offsetLine2,
    circleCenter,
    start,
    end,
    startAngle,
    endAngle,
    angleDir: cp < 0, // 正 -> 顺时针
  };
};

// 求两点距离
const distance = (p1: Point, p2: Point) => {
  const dx = p2.x - p1.x;
  const dy = p2.y - p1.y;
  return Math.sqrt(dx * dx + dy * dy);
};

// 求两直线交点
const getLineIntersection = (
  p1: Point,
  p2: Point,
  p3: Point,
  p4: Point,
): Point | null => {
  const { x: x1, y: y1 } = p1;
  const { x: x2, y: y2 } = p2;
  const { x: x3, y: y3 } = p3;
  const { x: x4, y: y4 } = p4;

  const a = y2 - y1;
  const b = x1 - x2;
  const c = x1 * y2 - x2 * y1;

  const d = y4 - y3;
  const e = x3 - x4;
  const f = x3 * y4 - x4 * y3;

  // 计算分母
  const denominator = a * e - b * d;

  // 判断分母是否为 0（代表平行）
  if (Math.abs(denominator) < 0.000000001) {
    // 这里有个特殊的重叠但只有一个交点的情况，可以考虑处理一下
    return null;
  }

  const px = (c * e - f * b) / denominator;
  const py = (a * f - c * d) / denominator;

  return { x: px, y: py };
};

// 到直线的最近点（或投影）
const closestPointOnLine = (
  p1: Point,
  p2: Point,
  p: Point,
  /** 是否限制在在线段之内 */
  canOutside = false,
) => {
  if (p1.x === p2.x && p1.y === p2.y) {
    return {
      t: 0,
      d: distance(p1, p),
      point: { x: p1.x, y: p1.y },
    };
  }
  const dx = p2.x - p1.x;
  const dy = p2.y - p1.y;
  let t = ((p.x - p1.x) * dx + (p.y - p1.y) * dy) / (dx * dx + dy * dy);
  if (!canOutside) {
    t = Math.max(0, Math.min(1, t));
  }
  const closestPt = {
    x: p1.x + t * dx,
    y: p1.y + t * dy,
  };
  return {
    t,
    d: distance(p, closestPt),
    point: closestPt,
  };
};


/**
 * 求向量 a 到向量 b 扫过的夹角
 * 这里假设为 x时针方向为正
 */
export const getSweepAngle = (a: Point, b: Point) => {
  // 使用点乘求夹角
  const dot = a.x * b.x + a.y * b.y;
  const d = Math.sqrt(a.x * a.x + a.y * a.y) * Math.sqrt(b.x * b.x + b.y * b.y);
  let cosTheta = dot / d;
  // 修正精度问题导致的 cosTheta 超出 [-1, 1] 的范围
  // 导致 Math.acos(cosTheta) 的结果为 NaN
  if (cosTheta > 1) {
    cosTheta = 1;
  } else if (cosTheta < -1) {
    cosTheta = -1;
  }

  let theta = Math.acos(cosTheta);
  // 通过叉积判断方向
  // 如果 b 在 a 的左边，则取负值
  if (a.x * b.y - a.y * b.x < 0) {
    theta = -theta;
  }

  return theta;
};