如何通俗地解释「置信区间」和「置信水平」？

从下面几个方面系统聊下这个问题：

1.为什么需要置信区间？

2.什么是置信区间和置信水平？

3.如何计算置信区间？

1.为什么需要置信区间？

历史上最早的科学家曾经不承认实验可以有误差，认为所有的测量都必须是精确的，把任何误差都归于错误。后来人们才慢慢意识到误差永远存在，而且不可避免。即使实验条件再精确也无法完全避免随机干扰的影响，所以做科学实验往往要测量多次，用取平均值之类的统计手段去得出结果。

多次测量，是一个排除偶然因素的好办法。国足输掉比赛之后经常抱怨偶然因素，有时候是因为裁判不公，有时候是因为主力不在，有时候是因为不适应客场气候，关键是如果你经常输球，我们还是可以得出你是个弱队的结论。

而国际足联的世界排名，是根据各国球队多次比赛的成绩采用加权平均的办法统计出来的，这个排名比一两次比赛的胜负，甚至世界杯赛的名次更能说明球队的实力。但即便如此，我们也不能说国际足联的排名就是各个球队的“真实实力”。这是因为各队毕竟只进行了有限次数的比赛，再好的统计手段，也不可能把所有的偶然因素全部排出。

所以，在科学实验中总是会在测量结果上加一个误差范围。比如经过测量马云的智商是100，测量误差是±5。

这句话的意思是说，马云智商是100，但其中有正负5的统计误差，所以马云的智商范围就是[100-5,100+5]这么一个范围。

真实的智商值当然只有一个，但是这个数是多少，我们不知道，它可以是这个误差范围内的任何一个数字。

考试成绩也如此，假设一个同学考了两次才过英语四级，第一次53分，第二次63分。他说这是略有进步，我说你这不叫进步，叫都在测量误差范围之内。

在股票市场经常会看到有人为了短期的股价上涨而兴奋不已，却又对短期的股价下跌彻夜难眠。其实这都是因为不理解误差范围导致的。

想想，如果这些人真的具备了误差的概率，就会忽略误差范围内的任何波动。如果你投资的这家公司在未来10年有足够的成长空间，那么你就会忽略掉这10年期间它股价暂时的波动，因为你看到的是长期，只要长期在你预期的误差范围内就可以接受。

这里的误差范围（区间）在统计概率中就叫做置信区间。简单来说，置信区间就是误差范围。

2.什么是置信区间和置信水平？

在之前我在“统计概率”的课程中有讲到过到如何用样本估计总体。同学就问了我一个问题：在抽样调查中，样本能在多大程度上代表总体？有没有公式来表示？

其实这个问题的本质就是想知道数据统计的误差范围是多少。在统计概率中有个专门的名称来表示误差范围，叫置信区间。

比如我用一定量的样本数据估计出全体知乎用户的平均年龄为28岁。

如果你收集了另外一组样本，其平均年龄为35岁，是否能判断我前面的估计是错误的呢？

因为我们没办法知道总体平均数的真实数值，所以，我们需要给出一个误差范围来描述这个估计的准确程度。

如果你已经知道什么是中心极限定理（怎样理解和区分中心极限定理与大数定律？），就会知道：样本围绕在总体平均值周围呈现正态分布。所以下图中中间红色线是总体平均值。

（如果不懂正态分布，看这里：怎样用通俗易懂的文字解释正态分布及其意义？）

我们用中括号[a,b]表示样本估计总体平均值的误差范围的区间，由于a和b的确切数值取决于你希望自己对于“该区间包含总体均值”这一结果具有的可信程度，因此，[a,b]被称为置信区间。

同时，我们选择这个置信区间，目的是为了为了让“a和b之间包含总体平均值”这一结果具有特定的概率，这个概率就是置信水平。

假设我设定的置信水平是95%，也就是说如果我做100次抽样，会有95个置信区间包含了总体平均值。

3.大样本如何计算置信区间？

当样本大小n小于30时，通常被认为是小样本。其实，任何的统计概率知识都没有那么高大上，同样的，计算置信区间也是一种套路。如果你学会学会下面我介绍的计算置信区间的4个步骤，你也可以轻松计算出置信水平。

第1步：确定要求解的问题是什么

比如我们想要通过样本来估计总体的平均值

第2步：求样本的平均值和标准误差

第3步：确定置信水平

常用的置信水平是95%，因为这样可以保证样本的平均值会落在总体平均值2个标准误差范围内。

查找z表格，求z值。如果你的置信水平是图中的95%，可以直接获取到对应的z值

第4步：计算置信区间

a=样本平均值 - z*标准误差

b=样本平均值 + z*标准误差

下面我们通过一个案例看下如何应用这4步。

第1步：确定要求解的问题是什么

国务院2010年颁布的《全国人口普查条例》规定，人口普查每10年进行一次，位数逢0的年份为普查年度，在两次人口普查之间开展一次较大规模的人口调查，也就是1%人口抽样调查，又称为“小普查”。全国调查的样本量约占全国总人口的1%左右。

假设我是这次调查报告的数据分析师，想知道全国成年男性的平均身高，我们不可能把每个人的数据收集到。所以只能通过样本的信息来估计总体的信息。

为了后面计算方便演示，假设我们收集的样本大小是100人。

第2步：求样本的平均值和标准误差

当样本大小大于30时，抽取的样本符合中心极限定理，也就是抽样分布是正态分布。我们这个案例里的样本大小大于30。下面图片看下抽取的样本信息。

样本的平均值是167.1cm，标准差是0.2。

当我兴高采烈的把这个结果告诉我的老板，老板问我：你这个样本数据在多大程度上可以代表总体呢？

幸好，我学过统计概率中的置信区间，领导，这是让我给出误差范围呢。怎么办呢？

我需要先算出样本的标准误差。

标准误差SE等于样本标准差除以样本大小n的开方。这里使用样本标准差s来估计总体标准差

总体标准差我们是不知道，但是我们可以用样本来估计出总体标准差，也就是我们这里的样本标准差，最后算出标准误差等于0.02cm

第3步：确定置信水平

那么由谁来决定置信水平？多大的置信水平才合适？

答案完全取决于你的具体情况以及你需要对“区间中包含总体平均值”这一说法有多大信心。

关键是记住一点：置信水平越高，区间越宽，置信区间包含总体平均值统计量的概率越大。

常用的置信水平是95%。其实，这个数字并不是必然的，而是人为设定的。

那么置信区间为什么通常是95%呢？

上面图中是我们在《抽样分布》课程中讲到中心极限定理的抽样分布图。横轴是样本平均值从小到大

根据中心极限定理，我们知道不管总体是什么分布，任意一个样本的平均值都会围绕在总体的平均值周围，并且呈正态分布。所以图中的中间位置红色竖线是总体平均值。

根据正态分布的特异功能，也叫做经验法则，我们知道有95%的样本平均值会落在2个标准误差范围内，这也是为什么会选择95%作为置信区间的原因。

第4步：求出置信区间上下限的值

现在我们来求置信区间[a,b]的上限a和下限b的值。a和b对称分布在中间红线的两端。

我们如果能计算出a离总体平均值多少个标准误差，那么我们就可以知道a的值了。为什么这么说呢？

假设a离总体平均值2个标准误差，那么a=总体平均值-2个标准误差

同样的，根据根据正态分布的对称性，我们就可以知道b的值，也就是b=总体平均值+2个标准误差。

这里距离平均值几个标准误差，就是我们之前课程中讲过的标准分。

所以，现在问题变的很简单了，只要我们求出a对应的标准分是多少就可以了。

我们用Z来表示标准分。

下面我们看下如何计算出标准分z的值。

现在我们知道，图中阴影部分，也就是置信区间a和b包括的概率是置信水平95%，

由于整个抽样分布曲线的概率和是1，所以我们可以知道上面图中两块红色区域的概率相加是1-95%=5%，而两端是对称的，所以每块红色区域的概率是2.5%

也就是概率p(Z<Za)=2.5%，现在知道概率了，我们可以根据z表格来查询获取到对应标准分z的值。

下面图片我们一起看下如何用z表格求标准分z。

z表格也叫标准正态分布表，它是标准正态分布中，标准分与概率数值的对应关系表。这个表格就是在我们知道标准分的情况下，可以快速查找到对应的概率值。

同样的反过来，我们知道概率值，也可以查找到对应的标准分z是多少。

现在我们已经知道了概率值是2.5%，那么就是查找对应的标准分z是多少。

在表格中我们查找到概率值2.5%对应的最左边第一列的值是-1.9，对应的最上边第一行的值是0.06。

根据Z表格，z数值的第一位小数值在表格最左边的第一列。z数值的第2位小数值在表格的第一行。

所以z=-1.96。

现在标准分z有了，下面图片我们就可以计算出置信区间a和b的值了。

z=-1.96表示距离总体平均值左边1.96个标准误差，所以是负数。

而b在总体平均值右边，所以z是正数，也是1.96个标准误差。

所以，这里的z就是1.96

a=总体平均值-1.96*标准误差

b=总体平均值+1.96*标准误差

而之前我们已经求得标准误差，那么总体平均值是多少呢？

根据中心极限定理，样本平均值约等于总体平均值，所以我们可以得到下面图片中置信区间的一般表达方式。

4. 一句话总结前面的知识

如果你看统计概率方面的书，很多书中也会有讲T分布下的置信区间计算，也就是当样本数量小于30时，样本分布符合T分布。这里我不准备聊这个知识，因为太多会让你大脑内存溢出。

你只需要记住有这么个T分布，当你拿到的数据样本不足30时，才会用到它。

大部分情况下，我们是可以获取到大于30的样本，这时候样本平均值是符合正态分布的，用我聊的步骤来计算就可以了。