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社区首页 >专栏 >【运筹学】表上作业法 ( 最小元素法分析 | Vogel 方法 )

【运筹学】表上作业法 ( 最小元素法分析 | Vogel 方法 )

作者头像
韩曙亮
发布于 2023-03-28 12:46:53
发布于 2023-03-28 12:46:53
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文章被收录于专栏：韩曙亮的移动开发专栏韩曙亮的移动开发专栏

文章目录

一、" 最小元素法 " 分析

在上一篇博客 【运筹学】表上作业法 ( 求初始基可行解 | 最小元素法 ) 中 , 按照 " 最小元素法 " 找到了初始基可行解 ,

使用 " 最小元素法 " , 属于贪婪算法 , 每次都找运费最小的优先供应 , 每个步骤的方案都是最优 , 局部最优 ,

每步最优不一定能使得全局最优 ;

二、Vogel 方法 ( 差额法 )

" Vogel 方法 " 的核心思想就是从运价表中 , 分别计算 各行 , 各列 的 最小运费 和 次最小运费 差额 , 填写到表的 最右列 和 最下行 ;

基于如下运输问题进行分析 : 下面的表格代表

3

个产地 ,

4

个销地 的运输规划问题 , 表格中的内容是 某产地运往某销地的运费 ;

​

B 1 \rm B_1 B1​

B 2 \rm B_2 B2​

B 3 \rm B_3 B3​

B 4 \rm B_4 B4​

产量

行差额

A 1 \rm A_1 A1​

3 3 3

11 11 11

3 3 3

10 10 10

7 7 7

0 0 0

A 2 \rm A_2 A2​

1 1 1

9 9 9

2 2 2

8 8 8

4 4 4

1 1 1

A 3 \rm A_3 A3​

7 7 7

4 4 4

10 10 10

5 5 5

9 9 9

1 1 1

销量

3 3 3

6 6 6

5 5 5

6 6 6

​

​

列差额

2 2 2

5 5 5

1 1 1

3 3 3

​

​

\rm B_1
\rm B_2
\rm B_3
\rm B_4

产量行差额

\rm A_1
3
11
3
10
7
0
\rm A_2
1
9
2
8
4
1
\rm A_3
7
4
10
5
9
1

销量

3
6
5
6

列差额

2
5
1
3

列差额 :

第

1

列 列差额 : 最小运费

1

, 次最小运费

3

, 差额是

2

;

第

2

列 列差额 : 最小运费

4

, 次最小运费

9

, 差额是

5

;

第

3

列 列差额 : 最小运费

2

, 次最小运费

3

, 差额是

1

;

第

4

列 列差额 : 最小运费

5

, 次最小运费

8

, 差额是

3

;

行差额 :

第

1

行 行差额 : 最小运费

3

, 次最小运费

3

, 差额是

0

;

第

2

行 行差额 : 最小运费

1

, 次最小运费

2

, 差额是

1

;

第

3

行 行差额 : 最小运费

4

, 次最小运费

5

, 差额是

1

;

以 第

1

列 列差额 为例进行分析 , 最小运费

1

, 次最小运费

3

, 差额是

2

; 如果不能使用最小运费

1

, 那么退而求其次 , 使用次最小运费

3

; 最优方案无法使用 , 考虑次优方案 , 这两个方案的差距就是 列差额

2

, 次优方案比最优方案运费高 , 高

2

;

第二列的列差额是

5

, 如果不能使用最优方案 , 使用次优方案 , 每个都要增加运费

5

, 这个增加的就太多了 , 应该 优先满足差额较高的行列 优先安排运输 ;

" Vogel 方法 " 将全局的最优考虑了进去 , 不再追求局部最优 , 使用该方法得出的初始基可行解 , 距离最优解更近 , 可以迭代更少次数 ;

第

1

个基变量 :

从所有 没有被划掉 的并且 没有被安排 的的运费中找到差额最大的 , 是

\rm B_2

的列差额

5

;

\rm B_2

列最小运费 : 这里优先给

\rm B_2

销地的最小运费

4

安排运输 , 避免为其安排次小运费 , 对应表格第

3

行第

2

列 ,

\rm A_3

产地运往

\rm B_2

销地的运费 ;

产地分析 : 对于产地

\rm A_3

来说 , 其生产

9

个 , 已经安排了

0

个 , 还可以再安排

9

个 ;

销地分析 : 对于销地

\rm B_2

来说需求

6

个 , 已经安排了

0

个 , 还可以再安排

6

个 ;

最大安排最小运费运输 , 从

\rm A_3

向

\rm B_2

运输

6

个产品 ;

​

B 1 \rm B_1 B1​

B 2 \rm B_2 B2​

B 3 \rm B_3 B3​

B 4 \rm B_4 B4​

产量

行差额

A 1 \rm A_1 A1​

3 3 3

1̸1 \not 11 ​11

3 3 3

10 10 10

7 7 7

0 0 0

A 2 \rm A_2 A2​

1 1 1

9̸ \not 9 ​9

2 2 2

8 8 8

4 4 4

1 1 1

A 3 \rm A_3 A3​

7 7 7

4̸ \not 4 ​4 , 6 6 6

10 10 10

5 5 5

9 9 9

1 1 1

销量

3 3 3

6 6 6

5 5 5

6 6 6

​

​

列差额

2 2 2

5̸ \not 5 ​5

1 1 1

3 3 3

​

​

\rm B_1
\rm B_2
\rm B_3
\rm B_4

产量行差额

\rm A_1
3
\not 11
3
10
7
0
\rm A_2
1
\not 9
2
8
4
1
\rm A_3
7
\not 4

,

6
10
5
9
1

销量

3
6
5
6

列差额

2
\not 5
1
3

此时

\rm B_2

的销量已经全部消耗完毕 , 该列就不需要安排其它产地向

\rm B_2

销地运输了 , 可以划掉这一列 , 讨论其它列的运输问题 ;

第

2

个基变量 :

划掉了

\rm B_2

行 , 这里重新计算行差与列差 ,

\rm B_1

,

\rm B_3

列最小运费 与 次小运费 没有变化 , 行差额不变 ;

\rm A_1

,

\rm A_2

行最小运费 与 次小运费 没有变化 , 行差额不变 ;

\rm A_3

行差额需要重新计算 , 最小运费被划掉了 , 此时最小运费是

5

, 次小运费是

7

, 行差额变为

2

;

​

B 1 \rm B_1 B1​

B 2 \rm B_2 B2​

B 3 \rm B_3 B3​

B 4 \rm B_4 B4​

产量

行差额

A 1 \rm A_1 A1​

3 3 3

1̸1 \not 11 ​11

3 3 3

10 10 10

7 7 7

0 0 0

A 2 \rm A_2 A2​

1 1 1

9̸ \not 9 ​9

2 2 2

8 8 8

4 4 4

1 1 1

A 3 \rm A_3 A3​

7 7 7

4̸ \not 4 ​4 , 6 6 6

10 10 10

5 5 5

9 9 9

2 2 2

销量

3 3 3

6 6 6

5 5 5

6 6 6

​

​

列差额

2 2 2

5̸ \not 5 ​5

1 1 1

3 3 3

​

​

\rm B_1
\rm B_2
\rm B_3
\rm B_4

产量行差额

\rm A_1
3
\not 11
3
10
7
0
\rm A_2
1
\not 9
2
8
4
1
\rm A_3
7
\not 4

,

6
10
5
9
2

销量

3
6
5
6

列差额

2
\not 5
1
3

从所有 没有被划掉 的并且 没有被安排 的的运费中找到差额最大的 , 是

\rm B_4

的列差额

3

;

\rm B_4

列最小运费 : 这里优先给

\rm B_4

销地的最小运费

5

安排运输 , 避免为其安排次小运费 , 对应表格第

3

行第

4

列 ,

\rm A_3

产地运往

\rm B_4

销地的运费 ;

产地分析 : 对于产地

\rm A_3

来说 , 其生产

9

个 , 已经安排了

6

个 , 还可以再安排

3

个 ;

销地分析 : 对于销地

\rm B_4

来说需求

6

个 , 已经安排了

0

个 , 还可以再安排

6

个 ;

最大安排最小运费运输 , 从

\rm A_3

向

\rm B_4

运输

3

个产品 ;

​

B 1 \rm B_1 B1​

B 2 \rm B_2 B2​

B 3 \rm B_3 B3​

B 4 \rm B_4 B4​

产量

行差额

A 1 \rm A_1 A1​

3 3 3

1̸1 \not 11 ​11

3 3 3

10 10 10

7 7 7

0 0 0

A 2 \rm A_2 A2​

1 1 1

9̸ \not 9 ​9

2 2 2

8 8 8

4 4 4

1 1 1

A 3 \rm A_3 A3​

7̸ \not 7 ​7

4̸ \not 4 ​4 , 6 6 6

1̸0 \not 10 ​10

5̸ \not 5 ​5 , 3 3 3

9 9 9

2 2 2

销量

3 3 3

6 6 6

5 5 5

6 6 6

​

​

列差额

2 2 2

5̸ \not 5 ​5

1 1 1

3 3 3

​

​

\rm B_1
\rm B_2
\rm B_3
\rm B_4

产量行差额

\rm A_1
3
\not 11
3
10
7
0
\rm A_2
1
\not 9
2
8
4
1
\rm A_3
\not 7
\not 4

,

6
\not 10
\not 5

,

3
9
2

销量

3
6
5
6

列差额

2
\not 5
1
3

此时

\rm A_3

的产量已经全部消耗完毕 , 该行就不需要安排其它销地运输了 , 可以划掉这一行 , 讨论其它列的运输问题 ;

第

3

个基变量 :

划掉了

\rm B_2

行 , 这里重新计算行差与列差 ,

\rm A_1

,

\rm A_2

行最小运费 与 次小运费 没有变化 , 行差额不变 ;

\rm B_1

,

\rm B_3

列最小运费 与 次小运费 没有变化 , 列差额不变 ;

\rm B_4

列差额需要重新计算 , 最小运费被划掉了 , 此时最小运费是

8

, 次小运费是

10

, 行差额变为

2

;

​

B 1 \rm B_1 B1​

B 2 \rm B_2 B2​

B 3 \rm B_3 B3​

B 4 \rm B_4 B4​

产量

行差额

A 1 \rm A_1 A1​

3 3 3

1̸1 \not 11 ​11

3 3 3

10 10 10

7 7 7

0 0 0

A 2 \rm A_2 A2​

1 1 1

9̸ \not 9 ​9

2 2 2

8 8 8

4 4 4

1 1 1

A 3 \rm A_3 A3​

7̸ \not 7 ​7

4̸ \not 4 ​4 , 6 6 6

1̸0 \not 10 ​10

5̸ \not 5 ​5 , 3 3 3

9 9 9

2̸ \not 2 ​2

销量

3 3 3

6 6 6

5 5 5

6 6 6

​

​

列差额

2 2 2

5̸ \not 5 ​5

1 1 1

2 2 2

​

​

\rm B_1
\rm B_2
\rm B_3
\rm B_4

产量行差额

\rm A_1
3
\not 11
3
10
7
0
\rm A_2
1
\not 9
2
8
4
1
\rm A_3
\not 7
\not 4

,

6
\not 10
\not 5

,

3
9
\not 2

销量

3
6
5
6

列差额

2
\not 5
1
2

从所有 没有被划掉 的并且 没有被安排 的的运费中找到差额最大的 , 是

\rm B_1

和

\rm B_4

的列差额

2

; 这两个任选一个都可以 ;

\rm B_4

列最小运费 : 这里优先给

\rm B_4

销地的最小运费

8

安排运输 , 避免为其安排次小运费 , 对应表格第

2

行第

4

列 ,

\rm A_2

产地运往

\rm B_4

销地的运费 ;

产地分析 : 对于产地

\rm A_2

来说 , 其生产

4

个 , 已经安排了

6

个 , 还可以再安排

4

个 ;

销地分析 : 对于销地

\rm B_4

来说需求

6

个 , 已经安排了

3

个 , 还可以再安排

3

个 ;

最大安排最小运费运输 , 从

\rm A_2

向

\rm B_4

运输

3

个产品 ;

​

B 1 \rm B_1 B1​

B 2 \rm B_2 B2​

B 3 \rm B_3 B3​

B 4 \rm B_4 B4​

产量

行差额

A 1 \rm A_1 A1​

3 3 3

1̸1 \not 11 ​11

3 3 3

1̸0 \not 10 ​10

7 7 7

0 0 0

A 2 \rm A_2 A2​

1 1 1

9̸ \not 9 ​9

2 2 2

8̸ \not 8 ​8 , 3 3 3

4 4 4

1 1 1

A 3 \rm A_3 A3​

7̸ \not 7 ​7

4̸ \not 4 ​4 , 6 6 6

1̸0 \not 10 ​10

5̸ \not 5 ​5 , 3 3 3

9 9 9

2̸ \not 2 ​2

销量

3 3 3

6 6 6

5 5 5

6 6 6

​

​

列差额

2 2 2

5̸ \not 5 ​5

1 1 1

2̸ \not 2 ​2

​

​

\rm B_1
\rm B_2
\rm B_3
\rm B_4

产量行差额

\rm A_1
3
\not 11
3
\not 10
7
0
\rm A_2
1
\not 9
2
\not 8

,

3
4
1
\rm A_3
\not 7
\not 4

,

6
\not 10
\not 5

,

3
9
\not 2

销量

3
6
5
6

列差额

2
\not 5
1
\not 2

此时

\rm B_4

的销量已经全部消耗完毕 , 该列就不需要安排其它产地向

\rm B_4

销地运输了 , 可以划掉这一列 , 讨论其它列的运输问题 ;

第

4

个基变量 :

划掉了

\rm B_4

行列 , 这里重新计算行差与列差 ,

\rm A_1

,

\rm A_2

行最小运费 与 次小运费 没有变化 , 行差额不变 ;

\rm B_1

,

\rm B_3

列最小运费 与 次小运费 没有变化 , 列差额不变 ;

​

B 1 \rm B_1 B1​

B 2 \rm B_2 B2​

B 3 \rm B_3 B3​

B 4 \rm B_4 B4​

产量

行差额

A 1 \rm A_1 A1​

3 3 3

1̸1 \not 11 ​11

3 3 3

1̸0 \not 10 ​10

7 7 7

0 0 0

A 2 \rm A_2 A2​

1 1 1

9̸ \not 9 ​9

2 2 2

8̸ \not 8 ​8 , 3 3 3

4 4 4

1 1 1

A 3 \rm A_3 A3​

7̸ \not 7 ​7

4̸ \not 4 ​4 , 6 6 6

1̸0 \not 10 ​10

5̸ \not 5 ​5 , 3 3 3

9 9 9

2̸ \not 2 ​2

销量

3 3 3

6 6 6

5 5 5

6 6 6

​

​

列差额

2 2 2

5̸ \not 5 ​5

1 1 1

2̸ \not 2 ​2

​

​

\rm B_1
\rm B_2
\rm B_3
\rm B_4

产量行差额

\rm A_1
3
\not 11
3
\not 10
7
0
\rm A_2
1
\not 9
2
\not 8

,

3
4
1
\rm A_3
\not 7
\not 4

,

6
\not 10
\not 5

,

3
9
\not 2

销量

3
6
5
6

列差额

2
\not 5
1
\not 2

从所有 没有被划掉 的并且 没有被安排 的的运费中找到差额最大的 , 是

\rm B_1

的列差额

2

;

\rm B_1

列最小运费 : 这里优先给

\rm B_1

销地的最小运费

1

安排运输 , 避免为其安排次小运费 , 对应表格第

2

行第

1

列 ,

\rm A_2

产地运往

\rm B_1

销地的运费 ;

产地分析 : 对于产地

\rm A_2

来说 , 其生产

4

个 , 已经安排了

3

个 , 还可以再安排

1

个 ;

销地分析 : 对于销地

\rm B_1

来说需求

3

个 , 已经安排了

0

个 , 还可以再安排

3

个 ;

最大安排最小运费运输 , 从

\rm A_2

向

\rm B_1

运输

1

个产品 ;

​

B 1 \rm B_1 B1​

B 2 \rm B_2 B2​

B 3 \rm B_3 B3​

B 4 \rm B_4 B4​

产量

行差额

A 1 \rm A_1 A1​

3 3 3

1̸1 \not 11 ​11

3 3 3

1̸0 \not 10 ​10

7 7 7

0 0 0

A 2 \rm A_2 A2​

1̸ \not 1 ​1 , 1 1 1

9̸ \not 9 ​9

2̸ \not 2 ​2

8̸ \not 8 ​8 , 3 3 3

4 4 4

1̸ \not 1 ​1

A 3 \rm A_3 A3​

7̸ \not 7 ​7

4̸ \not 4 ​4 , 6 6 6

1̸0 \not 10 ​10

5̸ \not 5 ​5 , 3 3 3

9 9 9

2̸ \not 2 ​2

销量

3 3 3

6 6 6

5 5 5

6 6 6

​

​

列差额

2 2 2

5̸ \not 5 ​5

1 1 1

2̸ \not 2 ​2

​

​

\rm B_1
\rm B_2
\rm B_3
\rm B_4

产量行差额

\rm A_1
3
\not 11
3
\not 10
7
0
\rm A_2
\not 1

,

1
\not 9
\not 2
\not 8

,

3
4
\not 1
\rm A_3
\not 7
\not 4

,

6
\not 10
\not 5

,

3
9
\not 2

销量

3
6
5
6

列差额

2
\not 5
1
\not 2

此时

\rm A_2

的产量已经全部消耗完毕 , 该行就不需要安排其它销地运输了 , 可以划掉这一行 , 讨论其它列的运输问题 ;

第

5

个基变量 :

划掉了

\rm A_2

行 , 这里重新计算行差与列差 ,

\rm A_1

,

\rm A_2

行最小运费 与 次小运费 没有变化 , 行差额不变 ;

​

B 1 \rm B_1 B1​

B 2 \rm B_2 B2​

B 3 \rm B_3 B3​

B 4 \rm B_4 B4​

产量

行差额

A 1 \rm A_1 A1​

3 3 3

1̸1 \not 11 ​11

3 3 3

1̸0 \not 10 ​10

7 7 7

0 0 0

A 2 \rm A_2 A2​

1̸ \not 1 ​1 , 1 1 1

9̸ \not 9 ​9

2̸ \not 2 ​2

8̸ \not 8 ​8 , 3 3 3

4 4 4

1̸ \not 1 ​1

A 3 \rm A_3 A3​

7̸ \not 7 ​7

4̸ \not 4 ​4 , 6 6 6

1̸0 \not 10 ​10

5̸ \not 5 ​5 , 3 3 3

9 9 9

2̸ \not 2 ​2

销量

3 3 3

6 6 6

5 5 5

6 6 6

​

​

列差额

2 2 2

5̸ \not 5 ​5

1 1 1

2̸ \not 2 ​2

​

​

\rm B_1
\rm B_2
\rm B_3
\rm B_4

产量行差额

\rm A_1
3
\not 11
3
\not 10
7
0
\rm A_2
\not 1

,

1
\not 9
\not 2
\not 8

,

3
4
\not 1
\rm A_3
\not 7
\not 4

,

6
\not 10
\not 5

,

3
9
\not 2

销量

3
6
5
6

列差额

2
\not 5
1
\not 2

从所有 没有被划掉 的并且 没有被安排 的的运费中找到差额最大的 ,

\rm A_1

的行差额

0

;

\rm A_1

列最小运费 : 这里优先给

\rm A_1

销地的最小运费

3

安排运输 , 避免为其安排次小运费 , 对应表格第

1

行第

1

列 ,

\rm A_1

产地运往

\rm B_1

销地的运费 ; ( 次小运费 = 最小运费 , 任选一个即可 )

产地分析 : 对于产地

\rm A_1

来说 , 其生产

7

个 , 已经安排了

0

个 , 还可以再安排

7

个 ;

销地分析 : 对于销地

\rm B_1

来说需求

3

个 , 已经安排了

1

个 , 还可以再安排

2

个 ;

最大安排最小运费运输 , 从

\rm A_1

向

\rm B_1

运输

2

个产品 ;

​

B 1 \rm B_1 B1​

B 2 \rm B_2 B2​

B 3 \rm B_3 B3​

B 4 \rm B_4 B4​

产量

行差额

A 1 \rm A_1 A1​

3̸ \not 3 ​3 , 2 2 2

1̸1 \not 11 ​11

3 3 3

1̸0 \not 10 ​10

7 7 7

0 0 0

A 2 \rm A_2 A2​

1̸ \not 1 ​1 , 1 1 1

9̸ \not 9 ​9

2̸ \not 2 ​2

8̸ \not 8 ​8 , 3 3 3

4 4 4

1̸ \not 1 ​1

A 3 \rm A_3 A3​

7̸ \not 7 ​7

4̸ \not 4 ​4 , 6 6 6

1̸0 \not 10 ​10

5̸ \not 5 ​5 , 3 3 3

9 9 9

2̸ \not 2 ​2

销量

3 3 3

6 6 6

5 5 5

6 6 6

​

​

列差额

2 2 2

5̸ \not 5 ​5

1 1 1

2̸ \not 2 ​2

​

​

\rm B_1
\rm B_2
\rm B_3
\rm B_4

产量行差额

\rm A_1
\not 3

,

2
\not 11
3
\not 10
7
0
\rm A_2
\not 1

,

1
\not 9
\not 2
\not 8

,

3
4
\not 1
\rm A_3
\not 7
\not 4

,

6
\not 10
\not 5

,

3
9
\not 2

销量

3
6
5
6

列差额

2
\not 5
1
\not 2

此时

\rm B_1

的销量已经全部消耗完毕 , 该列就不需要安排其它产地向

\rm B_1

销地运输了 , 可以划掉这一列 , 讨论其它列的运输问题 ;

第

6

个基变量 :

此时只剩下最后一个运费没有被安排 ,

\rm A_1

产地运往

\rm B_3

销地的运费 ;

产地分析 : 对于产地

\rm A_1

来说 , 其生产

7

个 , 已经安排了

2

个 , 还可以再安排

5

个 ;

销地分析 : 对于销地

\rm B_3

来说需求

5

个 , 已经安排了

0

个 , 还可以再安排

5

个 ;

最大安排最小运费运输 , 从

\rm A_1

向

\rm B_3

运输

5

个产品 ;

​

B 1 \rm B_1 B1​

B 2 \rm B_2 B2​

B 3 \rm B_3 B3​

B 4 \rm B_4 B4​

产量

行差额

A 1 \rm A_1 A1​

3 3 3 , 2 2 2

1̸1 \not 11 ​11

3 3 3 , 5 5 5

1̸0 \not 10 ​10

7 7 7

0 0 0

A 2 \rm A_2 A2​

1̸ \not 1 ​1 , 1 1 1

9̸ \not 9 ​9

2̸ \not 2 ​2

8̸ \not 8 ​8 , 3 3 3

4 4 4

1̸ \not 1 ​1

A 3 \rm A_3 A3​

7̸ \not 7 ​7

4̸ \not 4 ​4 , 6 6 6

1̸0 \not 10 ​10

5̸ \not 5 ​5 , 3 3 3

9 9 9

2̸ \not 2 ​2

销量

3 3 3

6 6 6

5 5 5

6 6 6

​

​

列差额

2 2 2

5̸ \not 5 ​5

1 1 1

2̸ \not 2 ​2

​

​

\rm B_1
\rm B_2
\rm B_3
\rm B_4

产量行差额

\rm A_1
3

,

2
\not 11
3

,

5
\not 10
7
0
\rm A_2
\not 1

,

1
\not 9
\not 2
\not 8

,

3
4
\not 1
\rm A_3
\not 7
\not 4

,

6
\not 10
\not 5

,

3
9
\not 2

销量

3
6
5
6

列差额

2
\not 5
1
\not 2

此时

\rm B_3

的销量已经全部消耗完毕 , 该列就不需要安排其它产地向

\rm B_3

销地运输了 , 可以划掉这一列 , 讨论其它列的运输问题 ;

至此 , 所有的产量与销量分配完毕 ;

上述初始基可行解方案总运费 :

\rm ( 2 \times 3 ) + ( 3 \times 5 ) + ( 1 \times 1 ) + ( 3 \times 8 ) + ( 4 \times 6 ) + ( 3 \times 5 ) = 85

最小元素法求出来的初始基可行解的 总运费是

86

, " Vogel 方法 " 比 " 最小元素法 " 能找出更近的初始基可行解 ;

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原始发表：2021-01-06，如有侵权请联系 cloudcommunity@tencent.com 删除
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