大学生数学竞赛非数专题三（4）

用户9628320

发布于 2022-11-23 08:57:36

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专题三一元积分学（4）

3.4 积分中值定理的应用

3.12 （北京市1993竞赛题） 设函数

$f(x)$

在

$[a,b]$

上连续且非负，

$M$

是

$f(x)$

上的最大值，求证：

$\displaystyle\underset{n\rightarrow \infty}{\lim}\sqrt[n]{\int[f(x)]^{n}dx}=M$

解：由题意知，

$M$

是

$f(x)$

的最大值，记

$\displaystyle f(\xi)=M=\underset{a\leq x\leq b}{\max}\{f(x)\}$

，

$\xi\in[a,b]$

，

（1）若

$\xi\in(a,b)$

，必然存在

$N\in N$

，当

$n>N$

时，有

$[\xi-\dfrac{1}{n},\xi+\dfrac{1}{n}]\subset[a,b]$

，用积分中值定理，即

$\displaystyle \xi_{n}\subset[\xi-\frac{1}{n},\xi+\frac{1}{n}]$

，使

$\displaystyle (\frac{2}{n})^{\frac{1}{n}}f(\xi_{n})=\sqrt[n]{\int_{\xi-\frac{1}{n}}^{\xi+\frac{1}{n}}[f(x)]^{n}dx}\leq\sqrt[n]{\int_{a}^{b}[f(x)]^{n}dx}\leq M(b-a)^{\frac{1}{n}}$

而

$f(x)$

连续，

$\displaystyle\underset{n\rightarrow \infty}{\lim}\xi_{n}=\xi$

，

$\displaystyle\underset{n\rightarrow \infty}{\lim}(\frac{2}{n})^{\frac{1}{n}}=1$

，

$\displaystyle\underset{n\rightarrow \infty}{\lim}(b-a)^{\frac{1}{n}}=1$

；根据夹逼准则有

$\displaystyle \underset{n\rightarrow \infty}{\lim}\sqrt[n]{\int[f(x)]^{n}dx}=M$

；

（2）同理

$\xi=a$

或者

$\xi=b$

类似.

3.13 （莫斯科民族友谊大学1977年竞赛题） 设

$f(x)$

在

$[a,b]$

上连续，对一切的

$\alpha$

，

$\beta(a\leq\alpha\leq\beta\leq b)$

，有

$\displaystyle \bigg|\int_{\alpha}^{\beta}f(x)dx\bigg|\leq M|\beta-\alpha|^{1+\delta}$

，其中

$M$

，

$\delta$

为正常数，求证：

$f(x)\equiv 0$

，

$x\in[a,b]$

解：取

$\forall x_{0}\in[a,b]$

，用积分中值定理有，

$\displaystyle\int_{x_{0}}^{x_{0}+h}f(x)dx=f(x_{0}+\theta h)h$

，上述

$x_{0}+h\in[a,b]$

，

$h\neq 0$

，

$0 < \theta < 1$

，故

$\displaystyle \bigg|\int_{x_{0}}^{x_{0}+h}f(x)dx\bigg|=|f(x_{0}+\theta h)h|\leq M|h|^{1+\delta}$

，

$|f(x_{0}+\theta h)|\leq M|h|^{\delta}$

，对右边式子取极限，

$\underset{h\rightarrow 0}{\lim}M|h|^{\delta}=0$

，且

$f(x)$

连续，有

$\underset{h\rightarrow 0}{\lim}f(x_{0}+\theta h)|=f(x_{0})=0$

,所以

$f(x)\equiv 0$

，

$x\in[a,b]$

今天的题目就到这里了，这两题综合利用了极限的定义，以及积分中值定理，另外还有放缩法，综合性强，大家好好体验，有问题留言，谢谢大家的支持。

作者：小熊

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