大学生数学竞赛非数专题三（3）

用户9628320

发布于 2022-11-23 08:57:10

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专题三一元积分学（3）

3.3 利用定积分的定义求极限

3.9 （莫斯科钢铁与合金学院1976年竞赛题）求

$\displaystyle\underset{n\rightarrow \infty}{\lim}\left[\frac{2^{\frac{1}{n}}}{n+1}+\frac{2^{\frac{2}{n}}}{n+\frac{1}{2}}+\dotsb+\frac{2^\frac{n}{n}}{n+\frac{1}{n}}\right]$

解：首先令

$\displaystyle x_{n}=\frac{2^{\frac{1}{n}}}{n+1}+\frac{2^{\frac{2}{n}}}{n+\frac{1}{2}}+\dotsb+\frac{2^\frac{n}{n}}{n+\frac{1}{n}}$

，再放缩法，则

$\displaystyle\frac{n}{n+1}(2^{\frac{1}{n}}+2^\frac{2}{n}+\dotsb+2^\frac{n}{n})\frac{1}{n}\leq x_{n}\leq (2^{\frac{1}{n}}+2^\frac{2}{n}+\dotsb+2^\frac{n}{n})\frac{1}{n}$

根据定积分的定义得

$\displaystyle\underset{n\rightarrow \infty}{\lim}(2^{\frac{1}{n}}+2^\frac{2}{n}+\dotsb+2^\frac{n}{n})\frac{1}{n}=\int_{0}^{1}2^xdx=\frac{2^x}{\ln 2}\bigg|_{0}^{1}=\frac{1}{\ln 2}$

而

$\underset{n\rightarrow \infty}{\lim}\dfrac{n}{n+1}=1$

，所以原式

$=\frac{1}{\ln 2}$

3.10 （南京大学1995年竞赛题）求

$\displaystyle\underset{n\rightarrow \infty}{\lim}(\frac{1}{\sqrt{n^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{n^2+4}}+\dotsb+\frac{1}{\sqrt{n^2+n^2}})$

解：根据定积分得定义有

原式

$=\underset{n\rightarrow \infty}{\lim}\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{1+(\frac{i}{n})^2}}\cdot\frac{1}{n}=\int_{0}^{1}\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}dx=\ln(x+\sqrt{1+x^2})\bigg|_{0}^{1}=\ln(1+\sqrt{2})$

.3.11 （浙江省2007年竞赛题）设

$\displaystyle u_{n}=1+\frac{1}{2}-\frac{2}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\frac{2}{6}+\dotsb+\frac{1}{3n-2}+\frac{1}{3n-1}-\frac{2}{3n}$

$\displaystyle v_{n}=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\dotsb+\frac{1}{3n}$

，求：（1）

$\dfrac{u_{10}}{v_{10}}$

；（2）

$\underset{n\rightarrow \infty}{\lim}u_{n}$

解：（1）

$\begin{align*}\displaystyle u_{n}&=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}(\frac{1}{3i-2}+\frac{1}{3i-1}-\frac{2}{3i})\\&=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}(\frac{1}{3i-2}+\frac{1}{3i-1}+\frac{1}{3i}-\frac{3}{3i})\\&=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}(\frac{1}{3i-2}+\frac{1}{3i-1}+\frac{1}{3i})-\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{i}\\&=\displaystyle\sum_{i=1}^{2n}\frac{1}{n+i}\end{align*}$

而

$v_{n}=\displaystyle\sum_{i=1}^{2n}\frac{1}{n+i}$

，所以

$\displaystyle \underset{n\rightarrow \infty}{\lim}\frac{u_{10}}{v_{10}}=1$

（2）根据

$\displaystyle u_{n}=\displaystyle\sum_{i=1}^{2n}\frac{1}{n+i}=\displaystyle\sum_{i=1}^{2n}\frac{1}{1+\frac{i}{n}}\frac{1}{n}$

，所以

$\displaystyle\underset{n\rightarrow \infty}{\lim}u_{n}=\int_{0}^{2}\frac{1}{1+x}dx=\ln 3$

作者：小熊

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