数学中的悖论（1）

（1）说谎者悖论与古典逻辑：不真不假半真半假又真又假

说谎者悖论有许多个版本，最简单的版本就是这样的一句话：

“这句话是假的。”或者“我正在说谎。”

这句话完全符合悖论的一般定义，亦即在序言中提到的“如果承认它是真的，经过一系列正确的推理，却又得出它是假的；如果承认它是假的，则反之经过推理又得出它是真的。”

最早有据可查的则是这样一个版本：

公元前6世纪，古希腊克里特岛哲学家埃庇米尼得斯说：“所有克里特人都是说谎者。”

显然，推敲这句话会陷入逻辑上的死循环。

说谎者悖论还可以推广到任意多句话，比如一张明信片，一面写着“反面写的是真的”，另一面写“反面写的是假的”。那么无论如何，都会推出矛盾。

在某些科幻小说中，这个悖论的变种被当作了逻辑炸弹，可以用来让人工智能当机。那个作家设想的人工智能大概是单线程，而且无法被打断的吧。

正常人，比如我女儿，听到这个悖论的反应是哈哈哈，而逻辑学家和哲学家们为了它争论了几百年。

争论的原因部分在于，古典逻辑，也就是我们一般使用的逻辑，认为一个论断非真即假，或者说，一个命题的真值只能取“真”和“假”两种。这样的逻辑体系中，无法容纳说谎者悖论。

于是，最简单的解决方法就是，认为“这句话是假的”是不真不假，或者是又真又假的。事实上，相对于古典的二值逻辑（只有真和假，或1），现在已经有了多值逻辑，模糊逻辑（比如，这句话为真的可能性为0.8）。为了不违反古典逻辑的矛盾律（不存在又真又假的命题）和排中律（两个相互矛盾的命题不能同时为假必有一个为真），古人也是绞尽脑汁，然而却并没有一个令人满意的结果。更多的学者倾向于认为，由于其形式上的问题，应该直接禁止这样的句子出现……

这“形式上的问题”，具体而言叫做自我指涉，也就是在论断中出现自身。自我指涉其实无法完全禁止，因为1）有时（不光是出于逻辑形式上）有此必要，比如张贴一张“此处禁止张贴告示”的告示；2）自我指涉也可能出现在多句相互论断的命题中，甚至自我指涉也不是出现此类悖论的唯一前提。

最后留一道趣题。写两句话，形如“AB是CDE”和”AB不是CDE”。例如，“今天是星期二”和“今天不是星期二”。那么，如何才能让这两句话同时为真呢？