最早的数学证明，是哲学家泰勒斯做的

最早的数学证明就是下面这个。

关于对顶角的。

α和β是一对对顶角，怎么证明对顶角相等呢？

泰勒斯的方法是把直线旋转180度。

这样会发现：

对顶角重合在一起，于是它们相等。

如今看起来挺简单的，

但细想来，这是很了不起的事。

直觉上：

对顶角看起来就相等。

一条通过圆心的直径就是能把圆分成两半。

三角形里边相等，对应的角也相等。

……

然而，看起来是这么回事——

这不是数学。

数学的语言是逻辑，必须用逻辑语言去证明它。

不然，你就是看事物，找规律，做总结。

这样的方法叫归纳。

归纳法要想完全正确，必须穷举。

而我们不可能穷举所有的对顶角。

所以，必须设置任意的对顶角，一步步证明它们相等。

泰勒斯生于公元前624年。

年轻时漫游四方，到过巴比伦和埃及。

那时候巴比伦和埃及都已经有了发达的数学。

泰勒斯从巴比伦、埃及学到了很多数学知识，然后带着这些知识回到家乡。

有个故事说：

他从巴比伦学到观星知识。

回到古希腊后，靠天文观测，

预测了橄榄的丰收，从而赚了大钱。

然而，

人家只是为了证明知识能带来利润，

本身对利润并不感兴趣——

一生痴迷于数学证明。

他在数学上引入了命题证明思想——

这是数学的一次飞跃。

所谓的命题证明思想，就是用逻辑推理来确定数学命题的真实性。

比如，“同位角相等”这是一个命题。

接下来不能想当然。

要用逻辑来推理确定这个命题是真还是假。

这就是我们初中生都很熟悉的：

假设——根据条件提出一个假设——这就是命题。

演绎——利用已知条件，从假设出发，逐步推导——证明步骤。

这步通常最难，我们需要有思路，需要用已知条件去试。

结论——基于演绎过程，得出最终的结论。

为什么说泰勒斯是西方哲学和科学始祖，就在这里。

假设—推理—结论，求真的经典步骤。

最初的数学证明，基本都建立在此之上。

就比如欧氏几何。

初中一开始接触的几何，就是欧式几何。

我们会学到平行公设——

也叫平行公理。

以这条公理为前提，开启了推论。

两直线平行，同位角相等；

两直线平行，同旁内角互补；

两直线平行，内错角相等；

再接着反过来：

同位角相等，两直线平行；

同旁内角互补，两直线平行；

内错角相等，两直线平行。

只要证明了同位角相等，

其他都可以通过同位角相等推理出来。

可以看下，下图的证明过程。

是不是很奇妙？

一步步推理，后面的概念建立在前面的概念之上。

这就是数学为什么是一个整体。

学数学一定要重视整体性。

再接着就是三角形。

有了平行的一系列推论，

把这些应用到三角形中，

于是三角形的好多性质都可以被发现。

……

就这样慢慢的，欧式几何的大厦就建立起来了。

我们一直到高中毕业，都在欧式几何里转悠。

等到大学会学其他几何，到时候会更有意思。

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