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线性代数的本质课程笔记(中)-点积和叉积

而根据矩阵乘法的计算方法，便可以将投影的计算方法和对位相乘再相加的方法联系起来。...上面的思路总结起来，就是无论何时你看到一个二维到一维的线性变换，那么应用这个线性变换和与这个向量点乘在计算上等价：上面是数学中“对偶性”的一个有趣实例。...叉积是通过两个三维向量生成一个新的向量，新的向量满足下面三个条件： 1）垂直于这两个向量所张成的平面 2）其长度等于这两个向量所形成的四边形的面积 3）其方向满足右手定则右手定则如下：接下来看看叉积的具体计算...我们首先定义一个三维到一维的线性变换：先回顾一下行列式的定义，三维空间中，3 * 3矩阵的行列式是三个向量所形成的平行六面体的有向体积（绝对值是体积，但需要根据方向判定其正负号），但这并非真正的叉积，...,y,z)求点积的结果，等于对应的三维方阵行列式的值（即(x,y,z)和向量u、v所组成的平行六面体的有向体积）。

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利用向量积（叉积）计算三角形的面积和多边形的面积

利用向量积（叉积）计算三角形的面积和多边形的面积：向量的数量积和向量积：（1）向量的数量积（1）向量的向量积两个向量a和b的叉积（向量积）可以被定义为：在这里θ表示两向量之间的角夹角（...0° ≤ θ ≤ 180°），它位于这两个矢量所定义的平面上。...向量积的模（长度）可以解释成以a和b为邻边的平行四边形的面积。...在计算几何里，我们知道，△ABC的面积就是“向量AB”和“向量AC”两个向量叉积的绝对值的一半。其正负表示三角形顶点是在右手系还是左手系。...hdu 2036:改革春风吹满地（叉积求凸多边形面积）改革春风吹满地 Time Limit: 2000/1000 MS (Java/Others) Memory Limit: 65536/32768

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《C 语言向量运算：点亮人工智能几何计算之路》

对于三维空间中的向量 A=(a1,a2,a3)和向量 B=(b1,b2,b3)，其叉积 A×B 的计算公式为((a2b3 - a3b2), (a3b1 - a1b3), (a1b2 - a2b1))。...叉积在人工智能的几何计算中同样有着不可或缺的作用。比如在计算机图形学中，当我们需要确定一个平面的法向量时，可以通过该平面上两个不共线向量的叉积来得到。...在机器人运动规划中，叉积可以用于判断机器人的运动方向与障碍物之间的空间关系，从而帮助机器人规划出合理的避障路径。在三维场景重建中，叉积运算有助于计算物体表面的法向量，进而实现逼真的光照效果模拟。...同样基于向量结构体，在叉积函数中，依据叉积的计算公式，准确地计算出结果向量的各个分量。在计算过程中，需要特别注意乘法和减法运算的顺序，以确保结果的正确性。...当我们要判断两个立方体之间的相对位置关系时，就可以通过计算相关向量的点积和叉积来获取信息。

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三维重建3-两视图几何

向量的叉积上面我们看到，向量的点积结果是一个数。而向量的叉积结果却是一个向量。既然是向量，那么就有长度和方向，下图展示了向量叉积结果的长度和方向。...根据上面的定义，我们知道了最重要的两点：两个向量叉积结果是一个向量，且这个新向量和原始的两个向量都正交，如果两个向量的方向一致，那么它们叉积结果向量的长度为0 叉积结果的数学表达略微复杂，但还是可以理解的...两个向量叉积结果是一个向量，且这个新向量和原始的两个向量都正交如果两个向量的方向一致，那么它们叉积结果向量的长度为0 两个向量点积的结果是一个数。...o'旋转x-t点，旋转矩阵为R，这样就得到了x'点很容易知道x, t, x'这3个向量是共面的（记住，点同时也代表从坐标原点指向它的向量）记住我们之前学过的关于向量的几个性质：两个向量叉积结果是一个向量...，且这个新向量和原始的两个向量都正交如果两个向量的方向一致，那么它们叉积结果向量的长度为0 两个向量点积的结果是一个数。

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从零开始一起学习SLAM | 为什么要用齐次坐标？

简单的说：齐次坐标就是在原有坐标上加上一个维度： ? ? 使用齐次坐标有什么优势？齐次坐标的使用能够大大简化在三维空间中的点线面表达方式和旋转平移等操作，具体分如下几点进行说明。...先介绍一下叉乘（也称叉积、外积）的概念：两个向量 a和b 的叉乘仅在三维空间中有定义，写作 a x b a x b 是与向量 a, b都垂直的向量，其方向通过右手定则决定。...也就是说三维向量 a x a =0, b x b = 0而点乘（也称点积，内积）的定义是 a * b = ||a||* ||b|| *cos(θ) 根据定义：如果两个向量垂直，cos(θ) = 0，点积也为...的叉乘结果可以用如下方法计算得到 ?...但是，我们知道SLAM中一般都是连续的欧氏变换，所以会有多次连续的旋转和平移，假设我们将向量a进行了两次欧氏变换，分别为R1, t1 和 R2，t2，分别得到： b = R1a + t1, c =

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向量的点乘和叉乘

大家好，又见面了，我是你们的朋友全栈君。如【点乘】在数学中，数量积（dot product; scalar product，也称为点积）是接受在实数R上的两个向量并返回一个实数值标量的二元运算。...向量的点积与它们夹角的余弦成正比，因此在聚光灯的效果计算中，可以根据点积来得到光照效果，如果点积越大，说明夹角越小，则物理离光照的轴线越近，光照越强。...【叉乘】向量积，数学中又称外积、叉积，物理中称矢积、叉乘，是一种在向量空间中向量的二元运算。与点积不同，它的运算结果是一个向量而不是一个标量。并且两个向量的叉积与这两个向量和垂直。...： a× (b×c) +b× (c×a) +c× (a×b) =0 分配律，线性性和雅可比恒等式别表明：具有向量加法和叉积的 R3 构成了一个李代数。...应用在物理学光学和计算机图形学中，叉积被用于求物体光照相关问题。

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在云计算环境中，如何实现资源的高效分配和调度？

在云计算环境中，可以通过以下几种方法实现资源的高效分配和调度：负载均衡：通过负载均衡算法，将云计算集群的负载均匀地分配到各个节点上。常见的负载均衡算法有轮询、最小连接数、最短响应时间等。...资源调度算法：为了高效利用资源，可以采用资源调度算法，将任务分配给最适合执行的资源。常见的资源调度算法有先来先服务、最短作业优先、最高优先权等。...虚拟化技术：通过虚拟化技术，将物理资源抽象为虚拟资源，实现资源的细粒度管理和高效利用。数据中心网络优化：优化数据中心网络拓扑结构和路由算法，提高数据传输效率和吞吐量，减少网络延迟。...故障容错和备份：通过备份和冗余技术，确保云计算环境中的资源和服务的高可用性和可靠性。当发生故障时，能够快速切换到备份资源。...以上是一些常见的方法，云计算资源的高效分配和调度还需要根据具体的应用场景和需求来进行定制化的设计和实施。

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Vector Algebra

就是由两向量组成的平行四边形的面积以及其方向与两向量所确定的平面垂直,这就引出了第三个话题,对点乘和叉乘的结合....,而这样一个公式,同时也提供了对平行六面体的体积的新求法.只要知道三个向量,就可以通过其中任意两个的叉乘积作为数值等于底面积的向量,与第三个向量点乘,得出体积.同时这也是一个检测三个向量是否共面的公式,...还有检测三个向量能否作为三维空间的基底....,然后使用叉乘得到一个法向量,最后使用法向量和其中一个向量组成点法式....第四节空间直线及其方程空间直线在某平面的投影直线方程的求法由两个空间曲面方程确定的曲线可以直接设其中一个平面方程的λ\lambdaλ 倍然后两个平面相加计算与所求平面相垂直的平面,求出之后

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矩阵运算_逆矩阵的运算

向量的点乘和叉乘向量的点乘和叉乘与矩阵一样是数学定义，点乘在矩阵运算中起到很重要的作用，称为内积，叉乘称为外积，通过叉乘运算可以计算出一个向量，该向量垂直于由两个向量构成的平面，该向量也称为该平面的法线...l 点乘公式其实就是两个向量的各分量相乘后形成新的向量 l 叉乘公式 Uc=U1* U2 两个向量进行叉乘的矩阵如下：其中x1，y1，z1以及x2，y2，z2分别为向量U1和U2的分量，设UC...为叉乘的向量积，其计算公式如下： 3....在3D计算中采用的是4元坐标系，因此在计算模型变换的时候采用的是4*4的方阵，矩阵结构中，元素编号按先行后列排列，在编程语言中可以用数组储存，使用循环计算，为便于坐标的批量处理，在绘制和计算一个三维模型前...合并方法是将多个矩阵相乘来计算出复合矩阵。三维变换中参与乘法运算的两个矩阵都必须是4X4矩阵，相乘时，每个新元素也通过点乘运算后获得，所得的新矩阵也是4X4的方阵。

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网页编辑DWG框架搭建快速入门（WEB CAD SDK）

入门开发指导 1.在网页中绘图，其详细操作请参考：快速入门 | mxdraw (gitee.io) 2.在网页中加载编辑CAD图纸，其详细操作请参考：快速入门 | mxcad (gitee.io) 主要功能...支持AutoCAD R14 到AutoCAD 2024的所有dwg图纸格式，未来也将支持新出现的AutoCAD文件格式。...三维支持：创建锥、柱、环等基本几何体, 对几何体进行布尔操作（相加、相减、相交运算)、倒角、斜切、镂空、偏移、扫视,、几何空间关系计算（法线、点积、叉积、投影、拟合等）、几何体分析（质心、体积、曲率等）...解压开发包后，其文件目录如下所示： 3.运行演示双击解压文件目录下的 Mx3dServer.exe 程序，其启动界面如下：按照界面提示步骤操作，启动服务，在启动之前我们需要设置防火墙允许这两个服务程序能访问网络...：Bin\Release\node.exe 和SRC\TsWeb\nodejs\node.exe，其设置如下：注意：在启动前，可能需要关闭杀毒软件，它会误报和拦截我们服务器程序访问网络。

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线性代数学习笔记(几何版)

线性代数学习请移步https://www.bilibili.com/video/av6731067 不得不说，这位up主讲的是真心好，尤其是点积叉积那一部分，直接刷新世界观QWQ。...在三维空间中，两个向量张成出的空间应该是某个过原点的平面 ?...判断正负的方法：右手定则：让食指指向$i$，中指指向$j$，拇指指向$k$，如果变换之后仍然能这么做，则为正；若只能用食指这么做，则为负行列式的计算二维 ? 证明： ? 三维： ? 性质 ?...零空间零空间：变换后落在原点的向量的集合点积定义：代数：对于两个维度相同的矩阵，其点积为将相应坐标配对，求出每一对坐标的乘积再相加 ?...叉积定义视频中并没有明确的给出叉积的定义大概就是算出两个向量的行列式来构成第三个向量正负对于$i \times j$，若$i$在$j$右侧，则叉积为正，否则叉积为负 ? 计算 ?

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NRI的基本概念和基于R语言计算NRI——比较两个模型的预测能力

而在诊断试验中，通常根据检验指标的判断结果和金标准诊断结果，整理成一个2×2的表格，如下表所示，并以此来计算诊断试验中两个比较重要的指标，即灵敏度和特异度。...那么，便会出现原本在旧模型中被错分，但在新模型中得到了纠正，分入了正确的分组，同样也有一部分研究对象，原本在旧模型中分类正确，但在新模型中却被错分的情况，这个时候，我们利用这种重新分类的现象，来计算净重新分类指数...NRI计算如下两个表所示，表一为一般情况，表二为特定情况，（一共595个样本，其中180个位患者组，415个位非患者组），我们将研究对象按照真实的患病情况分为两组，即患者组和非患者组，然后分别在这两个分组下...采用PredictABEL包，一行代码计算NRI值主要的函数为reclassification，第一个参数为我们的数据集，第二个参数为二分类的列，此处21代表的event列，predrisk1和predrisk2...Ok，今天的推文就到这，我们主要分享了NRI的基本概念和基于R语言计算NRI，希望能对大家有所帮助，最后，欢迎大家留言，有不正确的地方，也请大家留言指正。

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线性代数 - 1 - 基础知识

： image.png 向量积点积**（Dot Product）** 对应元素乘积和，结果不是一个向量，而是一个标量（Scalar） image.png 叉乘（cross product...）三维向量的叉积：用三阶行列式表示 image.png 其中\overrightarrow{\mathbf{i}}, \overrightarrow{\mathbf{j}}, \overrightarrow...\overrightarrow{\mathbf{v}}构成的平面，其方向符合右手规则叉积的模等于\overrightarrow{\mathbf{u}}, \overrightarrow{\mathbf...矩阵运算给定两个矩阵\mathbf{A}=\left(a_{i, j}\right) \in \mathbb{R}^{m \times n}, \mathbf{B}=\left(b_{i, j}\right...) \in \mathbb{R}^{m \times n} ，定义：阿达马积(Hadamard product)（又称作逐元素积） image.png 克罗内积(Kronnecker product

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《Unity Shader入门精要》笔记（三）

点和矢量点是n维空间（游戏中主要是用二维、三维空间）中的一个位置，没有大小、宽度的概念。...表示符号通常是在矢量的两边加上竖线，比如：|v|。三维矢量的模的计算公式：其他维度的矢量的模计算类似，都是对每个分量平方相加后开根号。...再由之前性质一，可得推导公式二：由公式二可知，点积可用于求两个矢量的夹角：矢量的叉积叉积，也叫外积。与点积不同，叉积的结果仍然是矢量，而非标量。叉积的表示：a x b，叉号不能省略。...叉积的几何意义：对两个矢量进行叉积的结果，会得到同时垂直于这两个矢量的新矢量。...，两个矢量的叉积，会得到垂直于两个矢量的新矢量，但是与其垂直的有两个向量。

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我的行列式~

对秩的理解：向量组张成的空间维数，而这取决于组中向量的个数和组中向量的维数。矩阵满秩表明张成空间的维数等于矩阵行/列数（行/列组中向量个数）。...右手定理，从b抓到c 就是这样向量空间的自然基是这样排列的那么根据上面的运算和定义会有这样的关系知道三维空间中的有向面积在各个坐标面上的投影向量，那么就可以合成得到三维空间中的有向面积，也就是向量积...有一组向量是中间图案的两个边有向面积是从上的这样就是投影了一抓，其实这个xoy的z是从下的这个面积其实是用的叉，这个箭头某种意义是是算出来的结果，所以它时不时的拉长和缩短。...计算这个的行列式但是是用了对偶的想法我也不记得对偶是什么了，但是这里就记住下面的话，线性变换与这个向量的点乘等价就是这样空间里面的线性变换可以在矩阵空间（这里不一定对）找到一个对偶向量这里的工作是想根据两个基底定义三维到一维的变换...这里去拷打点积先知道下面的面，然后知道上面的垂直分量，组成了一个体积其实最后也没有给出了一个P为什么是ijk，但是说明了一种线性变换必然对应一个矩阵乘积的想法。所以叉其实来至于点积。

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向量的内积和叉积_点乘和叉乘的区别

=a-b（a、b、c均为向量）有：即：向量a，b的长度都是可以计算的已知量，从而有a和b间的夹角θ：根据这个公式就可以计算向量a和向量b之间的夹角。...相互垂直 a·b<0 方向基本相反，夹角在90°到180°之间叉乘公式两个向量的叉乘，又叫向量积、外积、叉积，叉乘的运算结果是一个向量而不是一个标量。...并且两个向量的叉积与这两个向量组成的坐标平面垂直。...对于向量a和向量b： a和b的叉乘公式为：其中：根据i、j、k间关系，有：叉乘几何意义在三维几何中，向量a和向量b的叉乘结果是一个向量，更为熟知的叫法是法向量，该向量垂直于a和b向量构成的平面...在3D图像学中，叉乘的概念非常有用，可以通过两个向量的叉乘，生成第三个垂直于a，b的法向量，从而构建X、Y、Z坐标系。

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空间判断点是否在线段上

概述判断点是否在线段上的算法非常简单，有很多种实现方式，总结一下我自己的实现。 2. 详论个人认为通过向量计算的方式是比较好的，因为可以保证在二维和三维的情况都成立。...判断空间中点P是否在线段P1P2上，算法思想是分成两部分：计算 \vec{P1P2} 与 \vec{P1P} 的向量叉积，可以判断是否存在一条直线上。...原理是向量叉积的模（长度）表示两个向量组成的平面四边形的面积，如果叉积的模为0，说明两者共线，无法组成平行四边形。...计算向量点积，点积的几何意义是一个向量向另外一个向量的投影；如果满足如下公式，说明是在两个端点之间： 0的精度有限，因此设置epsilon作为容差。由于是使用向量计算，因而是可以拓展到三维空间中使用的。 3.

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绕圆弧动画的向量解决方式

向量的叉乘二维向量没有叉乘，叉乘是针对三维向量的。本文所述的问题，是一个二维的问题，但是为了方便使用叉乘来解决问题，把二维问题升级到三维问题，也就是，增加一个z坐标。...向量叉乘的结果叫做向量积，其本身也是一个向量，向量积的定义如下：模长：（在这里θ表示两向量之间的夹角(共起点的前提下)（0° ≤ θ ≤ 180°），它位于这两个矢量所定义的平面上。）...方向：向量A与向量B的向量积的方向与这两个向量所在平面垂直，且遵守右手定则。...C = A ∧ B） [向量叉乘]。本文中，向量A和向量B都在xy平面，所以他们的叉乘结果C（向量积）和xy平面垂直，和z坐标平行。...通过向量的点乘知识，可以计算出两个向量之间的夹角vAngle。通过向量叉乘计算出向量A和向量B的向量积crossVector。

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基于正交投影的点云局部特征

用图像表示特征可以提供稳定的信息，多个投影角度可以弥补投影过程中造成的信息丢失投影,实现对空间信息的解码。充分利用三维空间信息取决于三维物理坐标系统的建立，但传感器的坐标系统没有抵抗旋转的能力。...最近的一项评估研究表明，大多数公共数据库中基于LRF的特征的性能要优于不基于LRF特征。文章[1]介绍了一种称为正交投影的方法，以获得有效，鲁棒和高效的特征描述。...对于特征表达，从每个邻点到虚拟平面的距离或局部深度用于从角度表示局部几何信息给定点云P中的任何关键点p，在点p构造的LRF的数学表达式为：其中x(p)和z(p)是Lp的x轴和z轴，而y轴可以通过矢量叉乘获得...并且，是与qi到L的投影距离有关的权重：最后，可以从x轴和z轴之间的叉积获得LRF的y轴。...旋转的表面由表示然后在LRF中定义多个视点平面，以达到完全表征几何信息的目的。具体地，在LRF中，选择分别与距离为r的LRF的xy，yz和xz平面平行的三个正交视平面。

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绕圆弧动画的向量解决方式

向量的叉乘二维向量没有叉乘，叉乘是针对三维向量的。本文所述的问题，是一个二维的问题，但是为了方便使用叉乘来解决问题，把二维问题升级到三维问题，也就是，增加一个z坐标。...向量叉乘的结果叫做向量积，其本身也是一个向量，向量积的定义如下：模长：（在这里θ表示两向量之间的夹角(共起点的前提下)（0° ≤ θ ≤ 180°），它位于这两个矢量所定义的平面上。）...方向：向量A与向量B的向量积的方向与这两个向量所在平面垂直，且遵守右手定则。...本文中，向量A和向量B都在xy平面，所以他们的叉乘结果C（向量积）和xy平面垂直，和z坐标平行。其方向和A到B的顺序有关：当A到B是顺时针的时候，C指向z轴的负方向。...通过向量的点乘知识，可以计算出两个向量之间的夹角vAngle。通过向量叉乘计算出向量A和向量B的向量积crossVector。

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