输出表-加权t检验

加权 t 检验（Weighted t-test）是一种用于比较两个样本均值的统计方法，特别是在样本大小不相等或样本方差不相等的情况下。加权 t 检验通过为每个样本分配权重来调整均值和方差的计算。

加权 t 检验的步骤

1. 计算加权均值： [ \bar{X}_w = \frac{\sum w_i X_i}{\sum w_i} ] 其中 wiwi​ 是每个样本的权重，XiXi​ 是样本值。
2. 计算加权方差： [ S_w^2 = \frac{\sum w_i (X_i - \bar{X}_w)^2}{\sum w_i} ]
3. 计算 t 统计量： [ t = \frac{\bar{X}_1 - \bar{X}_2}{\sqrt{S_w^2 \left(\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2}\right)}} ] 其中 n1n1​ 和 n2n2​ 是两个样本的大小。
4. 计算自由度： [ df = \frac{\left(\frac{S_w^2 \left(\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2}\right)}{(\frac{S_w^2}{n_1} + \frac{S_w^2}{n_2})^2}\right)}{2} ]
5. 查找临界值：根据计算出的 t 值和自由度查找 t 分布表中的临界值。
6. 做出决策：如果计算出的 t 值大于临界值，则拒绝原假设。

示例

假设我们有两个样本，样本 1 和样本 2，及其对应的权重。

• 样本 1: X1=[5,6,7]X1​=[5,6,7], 权重 W1=[1,2,1]W1​=[1,2,1]
• 样本 2: X2=[8,9]X2​=[8,9], 权重 W2=[1,1]W2​=[1,1]

计算步骤

1. 计算加权均值：
   • 样本 1: [ \bar{X}_1 = \frac{1 \cdot 5 + 2 \cdot 6 + 1 \cdot 7}{1 + 2 + 1} = \frac{5 + 12 + 7}{4} = \frac{24}{4} = 6 ]
   • 样本 2: [ \bar{X}_2 = \frac{1 \cdot 8 + 1 \cdot 9}{1 + 1} = \frac{8 + 9}{2} = \frac{17}{2} = 8.5 ]
2. 计算加权方差：
   • 样本 1: [ S_1^2 = \frac{1 \cdot (5 - 6)^2 + 2 \cdot (6 - 6)^2 + 1 \cdot (7 - 6)^2}{1 + 2 + 1} = \frac{1 \cdot 1 + 0 + 1 \cdot 1}{4} = \frac{2}{4} = 0.5 ]
   • 样本 2: [ S_2^2 = \frac{1 \cdot (8 - 8.5)^2 + 1 \cdot (9 - 8.5)^2}{1 + 1} = \frac{1 \cdot 0.25 + 1 \cdot 0.25}{2} = \frac{0.5}{2} = 0.25 ]
3. 计算 t 统计量： [ t = \frac{6 - 8.5}{\sqrt{0.5 \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{2}\right)}} = \frac{-2.5}{\sqrt{0.5 \cdot \frac{5}{6}}} = \frac{-2.5}{\sqrt{\frac{5}{12}}} = \frac{-2.5}{\sqrt{0.4167}} \approx \frac{-2.5}{0.6455} \approx -3.87 ]
4. 计算自由度： [ df = \frac{\left(\frac{0.5 \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{2}\right)}{(\frac{0.5}{3} + \frac{0.5}{2})^2}\right)}{2} ] 这个计算比较复杂，通常可以使用统计软件来计算。
5. 查找临界值：根据自由度查找 t 分布表中的临界值。
6. 做出决策：根据计算出的 t 值和临界值做出决策。