四元数向量旋转

四元数是一种非常有效的工具，用于表示和计算三维空间中的旋转。与欧拉角和旋转矩阵相比，四元数避免了万向锁问题，并且计算上更为高效。在计算机图形学、机器人学和航空航天等领域中，四元数被广泛使用。

四元数基础

四元数通常表示为 q=w+xi+yj+zkq=w+xi+yj+zk，其中 w,x,y,zw,x,y,z 是实数，而 i,j,ki,j,k 是四元数的虚部单位，满足以下关系：

• i2=j2=k2=ijk=−1i2=j2=k2=ijk=−1

一个单位四元数（即模长为1的四元数）可以用来表示空间中的旋转。单位四元数可以表示为： [ q = \cos(\theta/2) + \sin(\theta/2) \cdot (u_xi + u_yj + u_zk) ] 其中，θθ 是旋转角度，(ux,uy,uz)(ux​,uy​,uz​) 是旋转轴的单位向量。

向量旋转

要使用四元数 qq 旋转一个向量 vv，可以将向量 vv 嵌入到四元数的形式中，即 v=0+vxi+vyj+vzkv=0+vx​i+vy​j+vz​k。然后使用以下公式进行旋转： [ v' = qvq^{-1} ] 其中 v′v′ 是旋转后的向量，q−1q−1 是四元数 qq 的逆。对于单位四元数，其逆四元数 q−1q−1 等于其共轭四元数 q∗q∗，计算方法为： [ q^* = w - xi - yj - zk ]

Python 示例

假设你想在Python中使用四元数来旋转一个向量。你可以使用numpy和scipy库中的四元数工具来实现：

import numpy as np
from scipy.spatial.transform import Rotation as R

# 定义旋转轴和角度
axis = np.array([0, 0, 1])  # 旋转轴为z轴
angle = np.pi / 4  # 旋转45度

# 创建四元数
rotation = R.from_rotvec(angle * axis)

# 定义向量
vector = np.array([1, 0, 0])

# 使用四元数旋转向量
rotated_vector = rotation.apply(vector)
print("Rotated Vector:", rotated_vector)

这段代码首先定义了一个绕z轴旋转45度的四元数，然后将这个四元数用于旋转向量 [1,0,0][1,0,0]。输出将是旋转后的向量。