级数-阿贝尔定理.收敛值的有效范围

PPPPP级数-发散上天也可emo到尘埃里，先看这热热身。

然后就是两个老熟人，背口诀一样，绝对收敛就是加绝对值收敛。

• 定义: 如果一个级数 ∑aₙ 的各项的绝对值构成的级数 ∑|aₙ| 收敛，那么称原级数 ∑aₙ 绝对收敛。
• 意义: 绝对收敛是一个更强的收敛性质。绝对收敛的级数具有更好的性质，例如，可以任意改变求和顺序而不影响级数的和。
• 绝对收敛蕴含收敛: 如果一个级数绝对收敛，那么它一定收敛。

条件收敛：加上绝对值以后发散。没加以前是发散的。条件就是加了绝对值。

• 定义: 如果一个级数 ∑aₙ 收敛，但其绝对值级数 ∑|aₙ| 发散，那么称原级数 ∑aₙ 条件收敛。
• 意义: 条件收敛的级数对求和顺序比较敏感。改变求和顺序可能会改变级数的和，甚至可能导致级数发散。
• 条件收敛的级数对求和顺序敏感: 改变求和顺序可能改变级数的和，甚至可能导致级数发散。

所以这两个是只适用于幂级数吗？绝对收敛和条件收敛的概念适用于所有无穷级数，而不仅仅是幂级数。

好的，知道了

• 幂级数：
  • ∑(从n=1到∞) (-1)^(n+1) / n （交错调和级数）是条件收敛的。
  • ∑(从n=0到∞) xⁿ/n! 是绝对收敛的（对于任意实数x）。
• 一般无穷级数：
  • ∑(从n=1到∞) 1/n² 是绝对收敛的。
  • ∑(从n=1到∞) (-1)^(n+1) / √n 是条件收敛的。

收敛半径

收敛半径是一个非负实数，它表示一个幂级数能够收敛的最大范围。简单来说，就是以幂级数的展开中心为圆心，收敛半径为半径的圆内（或区间），幂级数都能收敛。

将幂级数的收敛看作一个圆盘，收敛半径就是这个圆盘的半径。在圆盘内部，幂级数收敛；在圆盘外部，幂级数发散；而在圆周上，收敛性是不确定的，可能收敛也可能发散。

• 开区间: 在收敛半径内的所有点，幂级数都绝对收敛。
• 闭区间: 在收敛半径的端点处，幂级数的收敛性需要进一步讨论，可能收敛，也可能发散。阿贝尔定理可以帮助我们判断端点处的收敛性。

只有在收敛区间内，幂级数才能表示一个确定的函数。

比值判别法:

R = lim(n→∞) |a_n / a_(n+1)|

根值判别法:

其中，R为收敛半径，a_n为幂级数的系数。

R = 1 / lim sup(n→∞) |a_n|^(1/n)

幂级数想象成一个弹簧：

当我们拉伸弹簧时，在一定范围内，弹簧的形变是可逆的，恢复原状后弹簧的性质不变。但是，如果拉伸过大，弹簧就会变形，甚至断裂。

幂级数也类似，当x取值在收敛半径内时，幂级数就像一个“柔顺”的弹簧，可以进行各种变形；但当x取值超出收敛半径时，幂级数就变得“僵硬”，无法表示原来的函数了。

收敛半径的存在是由于幂级数本质上是一个无限和，而无限和的收敛性与自变量的取值密切相关。简而言之，收敛半径就是幂级数的“有效范围”。

对幂级数逐项求导，一般情况下不会改变其收敛半径。

• 求导不改变高阶项的增长速度：当对幂级数逐项求导时，每一项的次数都会降低1，但并不会改变高次项相对于低次项的增长速度。
• 收敛半径由高次项决定：幂级数的收敛半径主要由高次项的系数决定，而求导并不会显著改变高次项系数的增长趋势。

接着说阿贝尔定理：

就是在一个范围里面，都是绝对收敛的。在这个边上，不确定，在外头可能是条件收敛也有困难是绝对收敛

∑(从n=0到∞) a_n * (x-x0)^n

幂级数的样子，无穷级数

• a_n 是常数系数
• x 是变量
• x0 是展开中心

1. 阿贝尔定理（收敛端点处）：

• 如果幂级数在x=x0处收敛，那么它在开区间(x0-R, x0+R)上绝对收敛，其中R是幂级数的收敛半径。
• 此外，如果幂级数在x=x0+R处收敛，那么它在闭区间[x0, x0+R]上也收敛。类似地，如果幂级数在x=x0-R处收敛，那么它在闭区间[x0-R, x0]上也收敛。

2. 阿贝尔定理（发散端点处）：

• 如果幂级数在x=x0处发散，那么对于所有满足|x-x0|>R的x，幂级数同样发散。

假如一堆数字，这些数字按照一定的规律排列成一串，就像一列火车一样。每个数字就像车厢，而整个火车就是所谓的“级数”。阿贝尔定理就是关于这列火车能不能顺利开到终点站（也就是收敛）的一个重要规则。

阿贝尔定理告诉我们：如果一列火车（级数）在某个地方（收敛点）停下来了，那么它在离这个地方不太远的地方（收敛圆的边界上），也可能停下来，但不一定能保证一定停下来。

假设有一列火车，它在离车站100米的地方停了下来。阿贝尔定理就告诉我们，这列火车在离车站99米、98米、甚至更近的地方，也可能停下来。但是，它不一定会在离车站101米或者更远的地方停下来.