一个森林是0棵或多棵不相交(非空)树的集合,通常是一个有序的集合。换句话说,森林由多个树组成,这些树之间没有交集,且可以按照一定的次序排列。在森林中,每棵树都是独立的,具有根节点和子树,树与树之间没有直接的连接关系。 森林是树的扩展概念,它是由多个树组成的集合。在计算机科学中,森林也被广泛应用于数据结构和算法设计中,特别是在图论和网络分析等领域。
参照前文:【数据结构】树与二叉树(一):树(森林)的基本概念:父亲、儿子、兄弟、后裔、祖先、度、叶子结点、分支结点、结点的层数、路径、路径长度、结点的深度、树的深度
二叉树是一种常见的树状数据结构,它由结点的有限集合组成。一个二叉树要么是空集,被称为空二叉树,要么由一个根结点和两棵不相交的子树组成,分别称为左子树和右子树。每个结点最多有两个子结点,分别称为左子结点和右子结点。
二叉树的特点是每个结点最多有两个子结点,并且子结点的位置是有序的,即左子结点在前,右子结点在后。这种有序性使得二叉树在搜索、排序等算法中有广泛的应用。
个,其中
。
个结点,其中
。
,度数为2的结点个数为
,则有
。
详细证明过程见前文:【数据结构】树与二叉树(三):二叉树的定义、特点、性质及相关证明
定义5.3:一棵非空高度为
的满二叉树(perfect binary tree),是有
个结点的二叉树。
满二叉树是一种特殊类型的二叉树,具有以下特点:
层上:满二叉树的高度为
,即最深层的层数为
。所有的叶结点都位于最深层,也就是第
层。
)与非叶结点个数(记为
)之间满足关系
。也就是说,叶结点的个数比非叶结点的个数多1。
根据定义5.3,一棵非空高度为
的满二叉树具有
个结点。这个结论可以通过归纳法证明。当
时,满二叉树只有一个结点,符合条件。假设对于某个正整数
,高度为
的满二叉树有
个结点。那么对于高度为
的满二叉树,根结点有两个子结点,每个子结点都是高度为
的满二叉树。根据归纳假设,每个子树都有
个结点,所以总共有
个结点。因此,高度为
的满二叉树有
个结点。(引理5.2) 可按层次顺序(即按从第0层到第k层,每层由左向右的次序)将一棵满二叉树的所有结点用自然数从1开始编号。例如:
1
/ \
2 3
/ \ / \
4 5 6 7
/\ /\ /\ /\
8 9 A B C D E
根据上述满二叉树的编号规律,节点的编号如下:
第0层:1
第1层:2, 3
第2层:4, 5, 6, 7
第3层:8, 9, A, B, C, D, E
这里使用了十六进制数字A到E来表示编号大于9的节点。这样,高度为3的满二叉树的所有节点共有
个节点,按照层次顺序从1到15进行编号。
定义5.4:一棵包含
个节点、高度为
的二叉树
,当按层次顺序编号
的所有节点,对应于一棵高度为
的满二叉树中编号由1至
的那些节点时,
被称为完全二叉树(complete binary tree)。
换句话说,完全二叉树是按照层次顺序从左到右依次填满节点的二叉树,除了最后一层可能不满外,其他层都必须是满的。在完全二叉树中,节点编号与高度为
的满二叉树中的节点编号一一对应。
下面是一个例子来说明完全二叉树的概念:
1
/ \
2 3
/ \ /
4 5 6
在上面的例子中,这棵二叉树有6个节点,高度为2。按照层次顺序编号,节点的编号与高度为2的满二叉树中的节点编号一一对应。完全二叉树在树的存储和遍历等操作中具有一些特殊的性质,因此在算法和数据结构中经常被使用。
使得树中每个叶节点或在第
层或第
层上
的满二叉树中编号由1至
的那些节点:
的满二叉树中的节点编号一一对应。
这些特点描述了完全二叉树的一些重要性质和规律。完全二叉树在算法和数据结构中经常被使用,因为它的结构相对简单,可以方便地进行存储和遍历等操作。
将一棵有
个节点的完全二叉树按层次顺序用自然数从1开始编号时,节点编号
的结点满足的性质:
① 若
,则编号为
的结点的父节点的编号为
。即除了根节点(编号为1)之外,其他节点的父节点的编号可以通过将节点编号除以2并向下取整得到。
② 若
,则编号为
的结点的左子节点的编号为
。这意味着如果节点编号的两倍小于等于总节点数
,则该节点有左子节点,且左子节点的编号为节点编号的两倍。
③ 若
,则编号为
的结点的右子节点的编号为
。这意味着如果节点编号的两倍加一小于等于总节点数
,则该节点有右子节点,且右子节点的编号为节点编号的两倍加一。
这些性质描述了完全二叉树中节点编号与父节点、左子节点和右子节点编号之间的关系。通过这些性质,可以方便地在完全二叉树中定位和访问特定节点的父节点、左子节点和右子节点。
证明完全二叉树性质②的正确性可以通过归纳法进行:
时,如果
,则左儿子的编号显然为2。这是基本情况。
,且
,节点
的左儿子的编号为
。现在要证明节点
的左儿子的编号为
。
,则节点
有左儿子。根据层次顺序的编号规则,节点
的左儿子之前的两个节点就是节点
的左儿子和右儿子。根据归纳假设,节点
的左儿子编号为
,因此节点
的右儿子编号为
。因此,节点
的左儿子的编号为
。
,若
,则节点
的左儿子的编号为
。
由于性质②可以直接推导出性质③,而性质②和③又可以得到性质①,所以这个证明也同时证明了性质③和①。
证明: 设完全二叉树的高度为
。根据定义5.4,完全二叉树的结点个数介于高度为
和
的满二叉树的结点数之间,即有
。
从而,我们可以得到
,即
。
由于高度
为整数,所以我们可以得到
。
因此,具有
个结点的完全二叉树的高度是
。
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