全是原题？东吴金科2024量化研究员笔试0402

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前言

限时60min，4个概率和数理统计题、一个编程题，实则可以看为两个编程题。如果这些题是第一次做的话，还是比较难或者难以下手的，尤其是编程题考了动态规划，难度为力扣hard级别，对标互联网大厂笔试。但是做多了，就会发现基本都是经典题型，所以笔试前要好好准备，多刷绿宝书、红宝书，多刷LeeCode!

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题目1

现在有 100 个人，他们分别拿到了从 1 号到 100 号的座位，这些乘客会按号码顺序登机并应当对号入座，如果他们发现对应号座位被别人坐了，就会在剩下空的座位随便挑一个坐。现在假设 1 号乘客疯了（其他人没疯），他会在 100 个座位中随便选一个座位坐下，问：第100 人正确坐到自己坐位的概率是多少？

【参考答案】1/2

经典概率题。寻找递推关系：

A.若乘客数量是2，则答案是1/2；

B.若乘客数量是3，则答案是1/2;

C.若乘客数量是n，求a(n)，那么，

1）疯子坐的是自己的位置，1/n

2）疯子坐的是第2个位置，则去掉疯子和第2个位置，此时变成了求a(n-1)；

3) 疯子坐的是第3个人的位置，去掉疯子和第2个位置，还有第2个人和第2个位置，此时变成了求a(n-2)；

4）以此类推；

则：a(n)=(1+a(n-1)+a(n-2)+~+a(2))/n

同理，a(n-1)=(1+a(n-2)+a(n-3)+~+a(2))/n-1；

等式变形有：na(n)-a(n-1)=(n-1)a(n-1);即a(n)=a(n-1)

所以，结果是1/2；

题目2

有 n 个口袋，每个口袋均有 a 个白球，b 个黑球，现在做如下操作：从第一个口袋中任取一球放入第二个口袋，从第二个口袋中任取一球放入第三个口袋，

以此类推，直至从第 n-1 个口袋任取一球放入第 n 个口袋。问：最后从第 n 个口袋任取一球，取到白色的概率为多少。（请写出思路和计算过程）

【参考答案】P=a/（a+b）

数学归纳法或寻找递推关系。下面给出一个新思路：

n个口袋里的球的总数是n(a+b) 其中白球na个 黑球nb个

此题相当于求在n(a+b)个球中,取一个白球的概率

P=na/n(a+b)=a/(a+b)

题目3

x1,x2,x3,x4,x5 为0,1区间均匀分布的随机变量，求 min(x1,x2,x3,x4,x5)和max(x1,x2,x3,x4,x5)的相关系数

【参考解析】公式较多，不方便打，给出思路分析：

首先计算这些变量的期望值和方差，然后利用它们的定义或通过积分计算协方差，最后应用相关系数的公式。

题目4

长度为 10 米的钢筋，连续砍两刀（即先砍下一段，然后再砍剩下的一段），3 段都大于 1米的概率是多少？

【参考解析】

设第一刀离左端的距离为 x，第二刀离左端的距离为 y，那么第三段的长度为 10−x−y。

需要满足以下条件：

（1）x>0，即第一刀离左端距离大于 0。

（2）y>0，即第二刀离左端距离大于 0。

（3）10−x−y>1，即第三段长度大于 1。

将这些条件绘制在二维坐标系中，阴影部分表示满足要求的区域。我们需要计算这个阴影部分的面积。计算矩形的二重积分

题目5

编程题：（1）给定一个数组，它的第 i 个元素是一支给定的股票在第 i 天的价格。设计一个最优算法，在只允许交易一次的前提下，来计算你所能获取的最大利润，且不能开空仓。

（2）若最多可以完成两笔交易呢？（必须在再次购买前出售掉之前的股票，亦不能开空

仓）

【参考答案】均为leetcode原题、股票买卖系列

（1）LeetCode num121买卖股票的最佳时机。枚举卖出价格，维护买入的最小值

class Solution:
    def maxProfit(self, prices: List[int]) -> int:
        ans = 0
        min_pirce = prices[0]
        for p in prices:
            ans = max(ans, p - min_pirce)
            min_pirce = min(min_pirce, p)
        return ans

(2) LeetCode num123 买卖股票的最佳时机Ⅲ。动态规划，思路看注释吧。比较难，不会的就学学吧！

class Solution:
    def maxProfit(self, prices: List[int]) -> int:
        # 甲：这n天怎样买股票赚的多-------------------------------------
        n = len(prices)

        # 乙：dp[i]代表第i天-------------------------------------------
        # 乙：dp[i][0]代表第i天过后第一次买股票时的最大收益
        # 乙：总之，今天过后我必有股票在手上，要么之前买的，要么今天买的
        # 乙：dp[i][1]代表第i天过后第一次卖股票时的最大收益
        # 乙：总之，今天过后我手上空空如也，要么本来就没有，有我也给卖了
        # 乙：dp[i][2]代表第i天过后第二次买股票时的最大收益
        # 乙：dp[i][3]代表第i天过后第二次卖股票时的最大收益
        dp = [[0,0,0,0] for _ in range(n)]

        # 乙：今天是第一天---------------------------------------------
        # 乙：第一次买股票是吧，prices[0]块钱拿去，今天股票我买了
        # 乙：第一次卖股票是吧，prices[0]块钱买来又卖掉，血赚0元
        # 乙：第二次买，我买了又卖掉又买回来，花费prices[0]块钱
        # 乙：第二次买，我买了又卖掉又买回来又卖掉，哎，就是玩
        # 注：在同一天内反复买卖是不影响最终结果的，因为反正都是0
        dp[0]=[-prices[0],0,-prices[0],0]

        # 旁白：时间一天天过去
        for i in range(1, n):
            # 甲：今天是第i天，如果我第一次买股票，该怎么操作------
            # 乙：dp[i-1][0] 今天的股票太贵了，买之前的股票更划算
            # 乙：- prices[i] 今天的股票更便宜，我买了，prices[i]块钱拿去
            dp[i][0] = max(dp[i-1][0], -prices[i])

            # 甲：今天是第i天，如果我第一次卖股票，该怎么操作------
            # 乙：dp[i-1][1] 今天股市不行，还是之前卖更划算
            # 乙：+ prices[i] + dp[i-1][0] 今天的行情不错，股票卖掉，血赚prices[i]块钱，
            # dp[i-1][0]是我用低价买入花的钱
            dp[i][1] = max(dp[i-1][1], + prices[i] + dp[i-1][0])

            # 甲：今天是第i天，如果我第二次买股票，该怎么操作------
            # 乙：dp[i-1][0] 今天的股票太贵了，买之前的股票更划算
            # 乙：- prices[i] 今天的股票更便宜，我买了，prices[i]块钱拿去
            # dp[i-1][1]是我第一次卖股票赚的钱
            dp[i][2] = max(dp[i-1][2], - prices[i] + dp[i-1][1])

            # 甲：今天是第i天，如果我第一次卖股票，该怎么操作------
            # 乙：dp[i-1][1] 今天股市不行，还是之前卖更划算
            # 乙：+ prices[i] + dp[i-1][0] 今天的行情不错，股票卖掉，血赚prices[i]块钱，
            # dp[i-1][2]是我第二次买完股票后的最大收益
            dp[i][3] = max(dp[i-1][3], + prices[i] + dp[i-1][2])

        return dp[-1][-1]

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